可数与不可数

Posted 2022-03-24 有点儿意思

梳理可数集的概念，证明有理数集的可数性，与实数集的不可数性，最后讨论了可数集概念的意义。

我们称两个（有限或无限）集合具有相同的基数(cardinal number)，假若它们之间能建立一个双射。与\\(\\N\\) 有相同基数的集合称为可数集。

命题1：有理数全体\\(\\Q\\) 是可数集

将有理数\\(q = m/n\\) 写成\\((m,n)\\) 的形式，视为可数个可数集之并，仍为可数集。

命题2：实数全体\\(\\R\\) 是不可数集

一种常见的证明方法是，在实数的无限小数定义下，构造一个不在列表中的数\\(b\\)，用反证法证明是不可数的。可能是没有深入了解实数的这种定义方式，我目前实在是不好接受它证明\\(b\\) 不在列表中的步骤（这里有一些东西纠缠不清），所以这里就不再介绍这个方法，直接来看基于Dedekind 分割定义的，由实数基本定理，或者说通过实数的连续性来证明的方法。

证明1（Cantor 闭区间套定理）：设\\(D\\) 是个由实数组成的可数集：

\\[D = \\a_1,\\cdots,a_n,\\cdots\\ \\sub\\R. \\]

又给定了一个非空闭区间\\([c,d],\\space c<d\\)。

(i)给定实数\\(r\\) 以及一个非空闭区间\\([k,l],\\space k<l\\)，一定有一个闭区间\\([g,h],\\space g<h\\)，使得\\(r\\notin[g,h]\\sub[k,l]\\)；

设\\(r\\leq(k+l)/2\\) 且\\(k,l\\geq0\\)，令\\(g=2(k+l)/3,\\space h = l\\)。其他情况同理。

(ii)存在非空闭区间\\([c_1,d_1]\\sub[c,d],\\space c_1<d_1\\)，使得\\(a_1\\notin[c_1,d_1]\\)；

(i)\\(\\Rightarrow\\)(ii)

(iii)若已有\\(n\\) 个非空闭区间\\(\\[c_j,d_j]:c_j<d_j,j=1,\\cdots,n \\\\)，使得

\\[[c_1,d_1]\\supset[c_2,d_2]\\supset\\cdots\\supset[c_n,d_n]\\quad 且\\quad a_j\\notin[c_j,d_j](j=1,\\cdots,n), \\]

使用\\(n\\) 次(ii) 的结论

(iv)对于如上构筑的区间套\\(\\[c_n,d_n]:n\\in\\N\\\\)，我们有\\(\\left(\\bigcap_n=1[c_n,d_n] \\right)\\cap D = \\empty\\)；

对于任意的\\(r\\in \\N\\)，都有\\(a_r\\notin \\bigcap_n=1[c_n,d_n]\\)，所以\\(\\left(\\bigcap_n=1[c_n,d_n] \\right)\\cap D = \\empty\\)。

(v)非空闭区间\\([c,d]\\) 中至少有一个数\\(x\\) 不属于集合\\(D = \\a_1,\\cdots,a_n,\\cdots\\\\)；

(iv) 的自然推论

(vi)非空闭区间\\([c,d]\\) 不可数；

综上，任意的可数集\\(D\\)，闭区间中总可以找到数\\(x\\notin D\\)，故闭区间是不可数的，\\(\\R\\) 自然更是不可数。

证明2（Heine-Borel 有限覆盖定理）：

(i)设\\([a,b]\\sub \\bigcup_j=1^n(c_j,d_j)\\)，其中\\(n\\in\\N,a<b,c_j<d_j,1\\leq j\\leq n\\)，则

\\[b-a<\\sum_j=1^n(d_j-c_j). \\]

被覆盖的闭区间的长度，小于等于覆盖区间族的长度，又因为开区间族有“重叠”，故严格小于。

(ii)\\([a,b]\\) 是个有界闭区间；\\(\\I_\\alpha:\\alpha\\in J\\\\) 是个开区间族，\\(J\\) 是它的指标集，设\\([a,b]\\sub \\bigcup_\\alpha\\in JI_\\alpha\\) ，则

\\[b-a<\\sup_有限集F\\sub J\\sum_\\alpha\\in F\\lvert I_\\alpha\\rvert. \\]

有限覆盖定理与(i)，用$\\sup $ 代表具体的区间长度。

(iii)设\\(D\\) 是个可数集，则对任何的\\(\\varepsilon>0\\)，有可数个开区间\\(I_n,n=1,2,\\cdots\\)，使得

\\[D\\sub\\bigcup_n=1^\\infty I_n,\\space 且\\sum_n=1^\\infty \\lvert I_n\\rvert <\\varepsilon. \\]

利用\\(\\sum_n=1^\\infty(1/2)^n = 1\\) 来取\\(I_n\\) 的长度，可以限制无限区间族的总长度。

(iv)非空闭区间\\([a,b](a<b)\\) 不是可数集。

区间\\([a,b]\\) 不符合可数集的性质(iii)，即不可用总长度任意小的区间族覆盖。（其实这也是实数连续性的一种说明）

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王镁老师曾引用过一句话：“数学家做的是狐狸的工作，到达了一个地方，却用尾巴把脚印都扫掉了”。尽管在写书的时候，很多有心的作者会尽量介绍概念定理的前后联系，但受限于认知规律，即使讲到了，学生在获得大量的例子或者实践前，也没法对这个“联系”或者“意义”有切身的感受。这样说来，相比于从前往后勾连，或许从后往前勾连的效果要好些。

最后稍稍讨论一下研究可数集的意义。当然近从这里看是看不出来的，这篇文章与初学的视角没什么不同。但昨晚与田孟森学长讨论那个上下积分的问题时，我尝试将上下积分视为上下极限的应用，但这需要构造一个序列——这要求可数。由于Riemann 积分的分划、选点都是在实数上的，而实数不可数，所以我的想法无法实现（多遗憾呐）。这可以说是可数集这个概念的意义的一个很好的例子。

概括来说，可数的性质，告诉我们一个数集是否可以视为一个序列来处理。这是相当有力的，毕竟我们极限的第一部分就在研究序列的极限。（这也部分说明了序列极限的意义，不仅是用来求积分，更不只是函数极限的铺垫）