图解AI数学基础 | 信息论

Posted 2022-02-25 ShowMeAI

信息论是运用概率论与数理统计的方法研究信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码学、数据压缩等问题的应用数学学科。信息论中包含的知识和概念在机器学习中也有应用，典型的例子是其核心思想『熵』的应用。

作者：韩信子@ShowMeAI
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信息论是运用概率论与数理统计的方法研究信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码学、数据压缩等问题的应用数学学科。信息论中包含的知识和概念在机器学习中也有应用，典型的例子是其核心思想『熵』的应用。

例如，决策树模型ID3、C4.5中是利用信息增益来确定划分特征而逐步生长和构建决策树的；其中，信息增益就是基于信息论中的熵。

1.熵（Entropy）

熵是1854年由克劳休斯提出的一个用来度量体系混乱程度的单位，并阐述了热力学第二定律熵增原理：在孤立系统中，体系与环境没有能量交换，体系总是自发的向混乱度增大的方向变化，使整个系统的熵值越来越大。

熵越大，表征的随机变量的不确定度越大，其含有的信息量越多。

随机变量\\(X\\)可能的取值为\\(\\left\\ x_1,x_2 ,\\dots ,x_n \\right\\\\)，其概率分布为\\(P\\left( X=x_i \\right) =p_i\\)，\\(i = 1, 2, \\dots, n\\)，则随机变量\\(X\\)的熵定义为\\(H(X)\\)：

\\[H\\left( X \\right) =-\\sum_i=1^nP\\left( x_i \\right) logP\\left( x_i \\right) =\\sum_i=1^nP\\left( x_i \\right) \\frac1logP\\left( x_i \\right) \\]

2.联合熵（Joint Entropy ）

联合熵，就是度量一个联合分布的随机系统的不确定度。分布为\\(P(x,y)\\)的一对随机变量\\((X,Y)\\)，其联合熵定义为：

\\[H\\left( X,Y \\right) =-\\sum_i=1^n\\sum_j=1^nP\\left( x_i ,y_j \\right) logP\\left( x_i,y_j \\right) =E\\left[ \\log\\frac1p(x,y) \\right] \\]

联合熵的物理意义，是观察一个多随机变量的随机系统获得的信息量，是对二维随机变量\\((X,Y)\\)不确定性的度量。

3.条件熵（Conditional Entropy）

\\(Y\\)的条件熵是指『在随机变量\\(X\\)发生的前提下，随机变量\\(Y\\)发生新带来的熵』，用\\(H(Y | X)\\)表示：

\\[H\\left(Y|X \\right) =-\\sum_x,y^P\\left( x,y \\right) logP\\left( y|x \\right) \\]

条件熵的物理意义，在得知某一确定信息的基础上获取另外一个信息时所获得的信息量，用来衡量在已知随机变量的\\(X\\)条件下，随机变量\\(Y\\)的不确定性。

4.相对熵（Kullback–Leibler divergence）

相对熵在信息论中用来描述两个概率分布差异的熵，叫作KL散度、相对熵、互熵、交叉熵、信息增益。对于一个离散随机变量的两个概率分布\\(P\\)和\\(Q\\)来说，它们的相对熵定义为：

\\[D\\left( P||Q \\right) =\\sum_i=1^nP\\left( x_i \\right) log\\fracP\\left( x_i \\right) Q\\left( x_i \\right) \\]

注意：公式中\\(P\\)表示真实分布，\\(Q\\)表示\\(P\\)的拟合分布，\\(D(P||Q) ≠ D(Q||P)\\)

相对熵表示当用概率分布\\(Q\\)来拟合真实分布\\(P\\)时，产生的信息损耗。

5.互信息（Mutual Information）

互信息是信息论里一种有用的信息度量方式，它可以看成是一个随机变量中包含的关于另一个随机变量的信息量，或者说是一个随机变量由于已知另一个随机变量而减少的不肯定性。

互信息的计算方式定义如下：

\\[I\\left( X,Y \\right) =\\sum_x\\in X^\\sum_y\\in Y^P\\left( x,y \\right) log\\fracP\\left( x,y \\right) P\\left( x \\right) P\\left( y \\right) \\]

6.常用等式（useful equations）

1）条件熵、联合熵与熵之间的关系

\\[H\\left( Y|X \\right) =H\\left( X,Y\\right) -H\\left( X \\right) \\]

推导过程如下：

\\(\\beginarrayl H(X, Y)-H(X) \\\\ =-\\sum_x, y p(x, y) \\log p(x, y)+\\sum_x p(x) \\log p(x) \\\\ =-\\sum_x, y p(x, y) \\log p(x, y)+\\sum_x\\left(\\sum_y p(x, y)\\right) \\log p(x) \\\\ =-\\sum_x, y p(x, y) \\log p(x, y)+\\sum_x, y p(x, y) \\log p(x) \\\\ =-\\sum_x, y p(x, y) \\log \\fracp(x, y)p(x) \\\\ =-\\sum_x, y p(x, y) \\log p(y \\mid x) \\endarray\\)

• 第二行推到第三行的依据是边缘分布\\(P(x)\\)等于联合分布\\(P(x,y)\\)的和；

• 第三行推到第四行的依据是把公因子\\(logP(x)\\)乘进去，然后把\\(x,y\\)写在一起；

• 第四行推到第五行的依据是：因为两个\\(\\sigma\\)都有\\(P(x,y)\\)，故提取公因子\\(P(x,y)\\)放到外边，然后把里边的\\(-（log P(x,y) - log P(x)）\\)写成\\(- log (P(x,y) / P(x) )\\)；

• 第五行推到第六行的依据是：\\(P(x,y) = P(x) * P(y|x)\\)，故\\(P(x,y) / P(x) = P(y|x)\\)。

2）条件熵、联合熵与互信息之间的关系

\\[H\\left( Y|X \\right) =H\\left( Y \\right) -I\\left( X,Y \\right) \\]

推导过程如下：

\\(\\beginarrayl H(Y)-I(X, Y) \\\\ =-\\sum_y p(y) \\log p(y)-\\sum_x, y p(x, y) \\log \\fracp(x, y)p(x) p(y) \\\\ =-\\sum_y\\left(\\sum_x p(x, y)\\right) \\log p(y)-\\sum_x, y p(x, y) \\log \\fracp(x, y)p(x) p(y) \\\\ =-\\sum_x, y p(x, y) \\log p(y)-\\sum_x, y p(x, y) \\log \\fracp(x, y)p(x) p(y) \\\\ =-\\sum_x, y p(x, y) \\log \\fracp(x, y)p(x) \\\\ =-\\sum_x, y p(x, y) \\log p(y \\mid x) \\\\ =H(Y \\mid X) \\endarray\\)

3）互信息的定义

由上方的两个公式

• \\(H(Y|X) = H(Y) - I(X,Y)\\)

• \\(H(Y|X) = H(X,Y) - H(X)\\)

可以推出\\(I(X,Y)= H(X) + H(Y) - H(X,Y)\\)，此结论被多数文献作为互信息的定义

7.最大熵模型（Max Entropy Model）

机器学习领域，概率模型学习过程中有一个最大熵原理，即学习概率模型时，在所有可能的概率分布中，熵最大的模型是最好的模型。

通常用约束条件来确定模型的集合，所以最大熵模型原理也可以表述为：在满足约束条件的模型集合中，选取熵最大的模型。

前面我们知道，若随机变量\\(X\\)的概率分布是\\(P\\left( x_i \\right)\\)，其熵的定义如下：

\\[H\\left( X \\right) =-\\sum_i=1^nP\\left( x_i \\right) logP\\left( x_i \\right) =\\sum_i=1^nP\\left( x_i \\right) \\frac1logP\\left( x_i \\right) \\]

熵满足下列不等式：\\(0\\leq H\\left( X \\right) \\leq log\\left| X \\right|\\)

• \\(|X|\\)是\\(X\\)的取值个数
• 当且仅当\\(X\\)的分布是均匀分布时，右边的等号成立；也就是说，当\\(X\\)服从均匀分布时，熵最大。

直观地看，最大熵原理认为：

• 要选择概率模型，首先必须满足已有的事实，即约束条件；
• 在没有更多信息的情况下，那些不确定的部分都是『等可能的』。最大熵原理通过熵的最大化来表示等可能性；『等可能』不易操作，而熵则是一个可优化的指标。

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