C语言实现“勾股树”——毕达哥拉斯树！

Posted 2022-02-19 C语言编程学习基地

分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。虽然分形是一个数学构造，它们同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作品的范畴。

计算机协助了人们推开分形几何的大门。法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，开创了新的数学分支——分形几何学。分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用。

毕达哥拉斯树（Pythagoras tree）是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”。

这个程序，展示了毕达哥拉斯树的生成。执行效果如下：

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 我的求解思路是：

1. 确定直线 p1-p2，并在 p1-p2 的左侧求出 p11-p22，使 p1-p2-p22-p11 构成正方形。
2. 求出点 p，使  p-p11-p22 构成含 60 度角的直角三角形。
3. 分别将直线 p-p11 和 p-p22 看作 p1-p2，递归。递归的条件是正方形的边长大于 3。

完成的 C 语言源代码如下：

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// 程序名称：毕达哥拉斯树（Pythagoras tree）
// 编译环境：Mictosoft Visual Studio 2010, EasyX_20200315(beta)
//
#include <graphics.h>
#include <conio.h>
#include <math.h>

const double PI = 3.1415926536;

// 定义一个结构体 Point，存储点的坐标
struct Point

    double x;
    double y;
;

// 直线的旋转（p1 是定点）
Point Rotate(Point p1, Point p2, double angle)

    Point r;
    r.x = p1.x + (p2.x - p1.x) * cos(angle) + (p2.y - p1.y) * sin(angle);
    r.y = p1.y + (p2.y - p1.y) * cos(angle) - (p2.x - p1.x) * sin(angle);
    return r;


// 直线的缩放（p1 是定点）
Point Zoom(Point p1, Point p2, double ratio)

    Point r;
    r.x = p1.x + (p2.x - p1.x) * ratio;
    r.y = p1.y + (p2.y - p1.y) * ratio;
    return r;


// 画出正方形
void Draw(Point p1, Point p2)

    Point p11 = Rotate(p1, p2, 90 * PI / 180);
    Point p22 = Rotate(p2, p1, 270 * PI / 180);

    POINT pts[] =   int(p1.x + 0.5),  int(p1.y + 0.5) ,                    // +0.5 是为了四舍五入
                     int(p2.x + 0.5),  int(p2.y + 0.5) ,
                     int(p22.x + 0.5), int(p22.y + 0.5) , 
                     int(p11.x + 0.5), int(p11.y + 0.5)  ;

    static int color_H = 270;
    setfillcolor(HSVtoRGB(float(color_H), 1, 1));                            // 设置正方形的填充颜色
    setlinecolor(HSVtoRGB(float((color_H + 80) % 360), 0.5, 0.5));            // 设置正方形的边框颜色
    color_H = (color_H + 1) % 360;
    fillpolygon(pts, 4);                                                    // 填充正方形颜色

    if (((p22.x - p11.x) * (p22.x - p11.x) + (p22.y - p11.y) * (p22.y - p11.y)) > 3 * 3 )    // 正方形的边长 >3 时递归
    
        double a = 60 * PI / 180;                    // 60 度形式
//        double a = 45 * PI / 180;                    // 45 度形式
        Point p = Rotate(p11, p22, a);
        p = Zoom(p11, p, cos(a));

        Draw(p, p22);
        Draw(p11, p);
    


// 主函数
int main()

    initgraph(640, 480);                // 初始化窗口
    setbkcolor(0xfecaeb);                // 设置背景颜色
    cleardevice();

    Point p1 =  290, 400 ;
    Point p2 =  350, 400 ;
    Draw(p1, p2);

    _getch();
    closegraph();                        // 关闭窗口
    return 0;

 

其中，改变旋转的角度可以产生不同形状的树。例如，修改 Draw 函数里的 double a 变量为 45 度，可以得到这样的效果：

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- End -

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