SLAM基础矩阵矩阵基础相关概念总结

Posted 2022-02-18 铃灵狗

矩阵相关概念

线性相关与线性无关

\\[c_1u_1 + c_2u_2 + ... + c_nu_n = 0 \\]

其中可以有这样一组解：

\\[c_1 = c_2 = ... = c_n = 0 \\]

若只有这样一种解 则认为 \\(u_1, u_2, ... ,u_n\\) 线性无关
若有0以外的解 则认为线性相关

奇异矩阵

\\[Ax = 0 \\]

等价于

\\[a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = 0 \\]

其中A等于 \\([a_1, ... , a_n]\\) 若只有0解 则 \\(a_1, ..., a_n\\) 线性无关 此时A为非奇异矩阵
若有除0以外的解 A是奇异矩阵

范数

向量范数：描述向量的长度
对向量求范数

\\[||X||_2 \\]

X为向量 它等于每一项的平方求和再开根号
矩阵范数：描述矩阵的大小

\\[||A||_2 \\]

也是矩阵中的每一项的平方求和再开根号

行列式

\\[det(A) = |A| \\]

行列式不等于0的矩阵称为非奇异矩阵
行列式不等于0的矩阵才有逆矩阵
行列式不等于0称为满秩

特征值

\\[Lu = \\lambda u \\]

若能找到非零解 则 \\(u\\) 为 \\(\\lambda\\) 对应的特征向量
\\(\\lambda\\) 为特征值
\\(u\\) 的大小为 \\(n * 1\\)
可以求出很多特征值
若 \\(L\\) 有一个特征值为0 则 \\(L\\) 一定是奇异矩阵
奇异的非零矩阵一定存在非零的特征值

矩阵的迹

\\[tr(A) \\]

矩阵的迹等于矩阵所有对角元素（从左上角到右下角对角线上的元素）之和

矩阵的秩

\\[rank(A) \\]

\\(A_mn\\) 的秩定义为该矩阵中线性无关的行或列的数目 线性无关的行和列的数目相同

欠定与超定

欠定方程：方程个数小于未知参数个数
欠定方程特点：无法求出唯一解

超定方程：方程个数大于未知参数个数
超定方程特点：无法求出满足全部方程的精确解

单位矩阵

对角线上元素均为1 其他元素均为0的矩阵 记为 \\(I\\) 或者 \\(E\\)

逆矩阵

若满足以下性质：

\\[BA = AB = I \\]

则 \\(B\\) 称为 \\(A\\) 的逆矩阵 记为 \\(A^-1\\)

正交矩阵

若满足一下性质

\\[AA^T = I \\]

则矩阵 \\(A\\) 为正交矩阵
正交矩阵的自由度为 \\(n^2 - n\\)

矩阵自由度

若 \\(A_m * n\\) 为普通矩阵 通过改变每个元素可以生成新的 \\(m*n\\) 个新矩阵 则矩阵 \\(A\\) 的自由度为 \\(m*n\\)

对角矩阵

除了对角线上的元素 其他元素均为零 记为 \\(diag(x_1, ... , x_n)\\)

奇异值分解

对于任意矩阵 \\(A\\)
存在正交矩阵 \\(U\\) 和 \\(V\\)
使得

\\[A = U\\Sigma V^T \\]

其中 \\(\\Sigma =\\beginbmatrix \\Sigma_1 & O \\\\ O & O \\\\ \\endbmatrix\\)
且\\(\\Sigma_1 =diag(\\sigma_1, \\sigma_2, ..., \\sigma_r)\\)
且\\(\\sigma_1 \\geq \\sigma_2 \\geq ... \\geq \\sigma_r > 0\\)
其中 \\(r = rank(A)\\)
\\(O\\) 为零矩阵 全部元素都为零的矩阵