CF587F Duff is Mad

Posted 2022-02-01 gzezFISHER

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题意

给定 \\(n\\) 个字符串 \\(S_1...n\\).
定义 \\(\\textoccur(t, s)\\) 为 字符串 \\(t\\) 在字符串 \\(s\\) 中的出现次数. 有 \\(q\\) 次询问，每次给出 \\(l\\)，\\(r\\) 和 \\(k\\)，输出 \\(\\sum\\limits_l\\le i\\le r\\textoccur(s_i, s_k)\\).

\\(n,k,\\sum |s_i|\\le 10^5\\)

题解

我们对所有串建立fail树

令 \\(p_i,j\\) 表示串 \\(s_i\\) 的前 \\(j\\) 个字符在AC自动机上对应点的编号，\\(end_i\\) 表示串 \\(s_i\\) 在AC自动机上对应点的编号
有

\\[\\sum_l\\le i\\le r\\textoccur(s_i, s_k)=\\sum_l\\le i\\le r\\sum_1\\le j\\le \\textsize_k\\textisanc(end_i, p_k, j) \\]

其中 \\(\\textisanc(x, y)\\) 表示在fail树上 \\(x\\) 是否为 \\(y\\) 的祖先

看到 \\(\\sum |s_i|\\le 10^5\\) 这条限制，容易想到对于 \\(|s_k|\\) 根号分治

令 \\(M=\\sum |s_i|\\)

• \\(|s_k|<=T\\)
  容易得到一种做法，\\(\\forall l\\le i\\le r\\)，对所有以 \\(end_i\\) 为根的子树的所有点加1，然后查询所有 \\(p_k,i\\) 点上的值之和
  把每个询问差分为成 \\([1, l-1]\\) 和 \\([1, r]\\) 两个区间，然后离线下来按右端点排序，维护区间修改单点查询
  树状数组可以做到 \\(\\mathcalO(qT\\log M+n\\log M)\\)，当然更快的做法是分块的 \\(\\mathcalO(qT+n\\sqrtM)\\)
• \\(|s_k|>T\\)
  满足这个条件的 \\(k\\) 数量是 \\(\\mathcalO(\\fracMT)\\) 级别的，因此我们考虑对所有的 \\(k\\) 预处理
  考虑另一种做法，把所有 \\(p_k,i\\) 标上1，然后查询 \\(\\forall l\\le i\\le r\\)，\\(end_i\\) 子树和之和
  预处理时我们对 \\(end_i\\) 的子树和做前缀和，询问的差分即可
  \\(\\mathcalO(q+\\fracMT\\times n)\\)

选择一个合适的 \\(T\\)，我们视 \\(n\\)，\\(M\\) 和 \\(q\\) 为同阶，\\(T\\) 取 \\(\\sqrtM\\) 即可
复杂度可以简单地认为是 \\(\\mathcalO(n\\sqrtM)\\)

代码 codeforces submission 144319232

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