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Posted 2022-02-01 gzezFISHER

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题意

一个合法的串定义为：长度在 \\([l, r]\\) 之间，且只含 \\(0,1\\)，并且不存在连续 \\(2\\) 个或更多的 \\(0\\).
现在要选出 \\(k\\) 个长度相同的不同的合法的串，问有几种选法，答案模 \\(10^9+7\\).

\\(1\\le l\\le r\\le10^18, 1\\le k\\le200\\).

题解

设 \\(F_i,j\\) 表示长度为 \\(i\\), 以 \\(j\\) 结尾的合法串个数.
有 $$\\left
\\beginarraylr
F_i,0=F_i-1,1 & \\
F_i,1=F_i-1,0+F_i-1,1 &
\\endarray
\\right.$$
即 $$\\left
\\beginarraylr
F_i,0=\\textFibi & \\
Fi,1=\\textFibi+1 &
\\endarray
\\right.$$
所以答案 $$\\textAns=\\sum\\limitsl+2\\le i\\le r+2\\beginpmatrix\\textFib_i\\k\\endpmatrix$$

\\[\\beginalign* \\textAns =&\\sum_l+2\\leq i\\leq r+2 \\beginpmatrix\\textFib_i\\\\k\\endpmatrix\\\\ =&\\frac1k!\\sum_l+2\\le i\\le r+2 \\textFib_i^\\underlinek\\\\ =&\\frac1k!\\sum_l+2\\le i\\le r+2\\sum_1\\le j\\le k(-1)^k-j\\beginbmatrixk\\\\ j \\endbmatrix\\textFib_i^j\\\\ =&\\frac1k!\\sum_1\\le i\\le k(-1)^k-i\\beginbmatrixk\\\\ i \\endbmatrix\\sum_l+2\\le j\\le r+2\\textFib_j^i \\endalign* \\]

考虑带入斐波那契数的通项，令 \\(A=\\frac1+\\sqrt52, B=\\frac1-\\sqrt52\\)

\\[\\beginalign* \\textAns =&\\frac1k!\\sum_1\\le i\\le k(-1)^k-i\\beginbmatrixk\\\\ i \\endbmatrix\\sum_l+2\\le j\\le r+2[\\frac1\\sqrt5(A^j-B^j)]^i\\\\ =&\\frac1k!\\sum_1\\le i\\le k(-1)^k-i\\beginbmatrixk\\\\ i \\endbmatrix(\\frac1\\sqrt5)^i\\sum_l+2\\le j\\le r+2\\sum_0\\le p\\le i\\beginpmatrixi\\\\p\\endpmatrix(-1)^p(A^i-pB^p)^j\\\\ =&\\frac1k!\\sum_1\\le i\\le k(-1)^k-i\\beginbmatrixk\\\\ i \\endbmatrix(\\frac1\\sqrt5)^i\\sum_0\\le j\\le i\\beginpmatrixi\\\\j\\endpmatrix(-1)^j\\sum_l+2\\le p\\le r+2(A^i-jB^j)^p \\endalign* \\]

等比数列求和快速计算式子后面部分
\\(\\Theta(k^2\\times(\\log l+\\log r))\\)

细节

本题涉及对 \\(\\sqrt5\\) 的计算，然而在模 \\(10^9+7\\) 意义下 \\(5\\) 没有二次剩余，扩域维护即可

代码 codeforces submission 137205589

不忘初心 砥砺前行