题解AT3954 [AGC023C] Painting Machines

Posted 2022-01-08 Refined_heart

AT3954 [AGC023C] Painting Machines

\\(\\textSolution:\\)

首先可以考虑对每个数拆贡献，一个数如果有贡献显然是它自己有贡献或者排在它后面的数有贡献。

这个东西看起来就不好做。所以直接容斥掉，变成求它有多少情况不贡献。

此时当且仅当它后面的数和它自己全部没有贡献。

那么从这一步开始，我们发现，这个数具体是多少已经不重要了，我们现在只需要知道，有多少长度为 \\(i\\) 的后缀，其全部没有贡献。

现在需要明确一下：先考虑转化为 有多少长度为 \\(i\\) 的排列可以覆盖全部格子。 接下来我们发现，后面的 \\(n-i-1\\) 是可以随便排列的，而前面这 \\(i\\) 个也是可以随便排的，现在就剩下如何确定有多少种方案有 \\(i\\) 个可以覆盖所有格子。

剩下就是我没有想到的地方了）

考虑设集合为 \\(S\\) （由于之前把随便排给去掉了，所以此时是没有顺序的，后面要乘一个 \\(i!\\times (n-i-1)!\\) ）

那么不妨认定它是有顺序的，它需要满足下列条件：

• \\(1\\in S,n-1\\in S\\)
• \\(\\forall i,S_i+1-S_i\\leq 1\\)

第一步是因为 \\(1,n\\) 只能被这样覆盖，第二步是因为，如果不满足，那么 \\(S_i+2\\) 就无法覆盖。

考虑怎么求 \\(S\\) 的个数。我们发现，现在可以从元素位置差的角度来考虑。

首先要发现一个性质：\\(\\left(\\sum S_i-S_i-1\\right)=n\\)

那么考虑这个间隙应当满足什么条件：设 \\(|S|=t,\\) 则我们需要空出 \\(n-t-1\\) 个位置，而一共有 \\(t\\) 个元素，所以一共有 \\(t-1\\) 个空隙。

那么不妨表示为方程，则有：

\\[\\sum _i=1^t-1 x_i=n-t-1,x_i\\in\\0,1\\ \\]

考虑生成函数，将每个 \\(x\\) 写成 GF 形式，所求即为：

\\[F=\\prod_i=1^t-1 (1+x) \\\\ Ans=[x^n]F(x) \\]

考虑其 \\(n\\) 次项的系数，容易发现这个是杨辉三角。

那么就有：

\\[Ans=\\binomt-1n-t-1 \\]

于是整理上述过程，设 \\(f_i=\\binomt-1n-t-1,\\)

\\[Ans=\\sum f_i\\times i!\\times (n-i-1)! \\]

组合意义就是：找到大小为 \\(i\\) 的合法集合方案数，集合内部随便排，外部随便排。注意其不能交叉，是因为这里强制了 \\(S\\) 排在前面。

预处理阶乘就可以线性了。