总结背包问题的至多/恰好/至少

Posted 2021-12-28 蒟蒻豆进阶之路

对于一维背包问题，注意区分该问题的下面这三种情况，即至多/恰好/至少，它们的状态转移方程其实是一样的，差异在于初始化。

一、体积至多是v时的最小/大值

这是背包问题中最常见的问法，取最小用\\(min\\),取最大用\\(max\\)。

方法：全部初始化为\\(0\\)，且保证\\(v\\)大于等于\\(0\\)。
代表题目：\\(AcWing\\) \\(423\\) .采药，其代码如下：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main() 
    //优化输入
    ios::sync_with_stdio(false);
    //物品个数n
    cin >> m >> n;
    //读入体积和重量
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
    //01背包模板
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = m; j >= v[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

    cout << f[m] << endl;
    return 0;

二、 体积恰好是v时的最小/大值

方法：\\(f[0]\\)初始化为\\(0\\)，其余初始化为正/负无穷（分别对应题目问的最小/最大，代表不合法状态，不应该被选取），且保证\\(v\\)大于等于\\(0\\)。

代表题目：LeetCode 322.零钱兑换，其代码如下：

三、 体积至少是v时的最小/大值

方法：\\(f[0]\\)初始化为\\(0\\)，其余初始化为正/负无穷（分别对应题目问的最小/最大，代表不合法状态，不应该被选取），无需保证\\(v\\)大于等于\\(0\\)。
代表题目：\\(AcWing\\) \\(1020\\).潜水员，其代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010; //气缸的个数上限
const int M = 100;  //需要的氧气、氮气上限值

int V1; //氧需要的量
int V2; //氮需要的量
int n;  //气缸的个数

int v1[N], v2[N], w[N];//第i个气缸里的氧和氮的容量及气缸重量
int f[M][M]; //DP数组

int main() 
    //读入氧需要的量，氮需要的量,气缸的个数
    cin >> V1 >> V2 >> n;
    //读入每个气缸的氧和氮的容量及气缸重量
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v1[i] >> v2[i] >> w[i];
    //求最小值要把除初始状态以外的所有状态初始化为+∞
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0][0] = 0;
    //因为采用了降维，所以体积都是倒着的~
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = V1; j >= 0; j--)
            for (int k = V2; k >= 0; k--)
                f[j][k] = min(f[j][k], f[max(j - v1[i], 0)][max(k - v2[i], 0)] + w[i]);
    //输出
    printf("%d", f[V1][V2]);
    return 0;