数论函数相关知识

Posted 2021-12-22 佐世保の时雨酱

数论函数：

• 定义：

  定义域为正整数，值域为整数的函数称为数论函数。而在 \\(\\tt OI\\) 界中，常见的数论函数有欧拉函数 \\(\\phi(x)\\)、莫比乌斯函数 \\(\\mu(x)\\) 等。

• 部分运算法则：

  • 加法

    数论函数的加法被定义为逐项相加，形式化来说就是 \\(\\left(f + g\\right)\\left(n\\right) = f\\left(n\\right) + g\\left(n\\right)\\)

  • 数乘

    数论函数的数乘被定义为逐项相乘，形式化来说就是 \\(\\left(xf\\right)\\left(n\\right) = xf\\left(n\\right)\\)

狄利克雷卷积：

• 定义：

  定义两个数论函数的卷积为 \\(*\\)。若 \\(t = f * g\\)，则有：\\(t\\left(n\\right) = \\sum_i | nf\\left(i\\right)g\\left(\\dfracni\\right)\\)

• 性质：

  • 交换律：

    即 \\(f * g = g * f\\)

  • 结合律：

    即 \\(f * g * h = f * \\left(g * h\\right)\\)
    \\(\\large \\mathcal Proof:\\)
    \\(\\displaystyle f * g * h\\\\ = \\sum_i \\cdot j \\cdot k=n\\left(f(i) \\cdot g(j)\\right) \\cdot h(k)\\\\ = \\sum_i \\cdot j \\cdot k=nf(i) \\cdot \\left(g(j) \\cdot h(k)\\right)\\\\ = f * \\left(g * h\\right)\\)
    证毕。

  • 分配律:

    即 \\((f + g) * h = f * h + g * h\\)
    \\(\\large \\mathcal Proof:\\)
    咕咕咕。

• 补充定义：

  • 单位元：

    \\(\\epsilon\\left(n\\right) = \\left[n = 1\\right]\\)

  • 逆元：

    对于任意一个 \\(f\\left(1\\right) \\not= 0\\) 的数论函数 \\(f\\)，都存在一个数论函数 \\(g\\) 使得 \\(f * g = \\epsilon\\)，则称 \\(g\\) 为 \\(f\\) 的逆元。

积性函数：

• 定义：

  \\(\\forall a,b \\in Z^+\\) 且 \\(a \\perp b\\) 满足 \\(f(a \\times b) = f(a) \\times f(b)\\)，则称 \\(f(x)\\) 为积性函数。

  若 \\(\\forall a,b \\in Z^+\\)，都有 \\(f(a \\times b) = f(a) \\times f(b)\\)，则称 \\(f(x)\\) 是一个完全积性函数

• 常见积性函数：

  • 单位元 \\(\\epsilon\\left(x\\right) = \\left[x = 1\\right]\\)
  • 莫比乌斯函数 \\(\\mu(x)\\)
  • 欧拉函数 \\(\\displaystyle\\varphi(x)=x\\prod\\limits_i=1^n\\dfracP_i-1P_i\\quad \\left(x = \\prod\\limits_i = 1^nP_i^Cnt_i, P_i \\in \\textPrime\\right)\\)
  • \\(id^k(x)=x^k\\)
  • \\(1(x)=1\\)
  • \\(d(x)=\\displaystyle\\sum\\limits_d|x1\\)
  • \\(\\sigma(x)=\\displaystyle\\sum\\limits_d|xd\\)