AtCoder Regular Contest 162 E Strange Constraints

Posted 2023-06-21 zltzlt

洛谷传送门

AtCoder 传送门

完全没有思路。但是其实不难的。

设 \\(d_i\\) 为 \\(i\\) 在 \\(B\\) 中的出现次数，题目要求：

• \\(\\forall i \\in [1, n], d_i \\le A_i\\)；
• 对于位置 \\(i\\)，\\(d_j \\le A_i\\) 的数 \\(j\\) 可以被放到 \\(B_i\\)。

考虑按照 \\(d_i\\) 从大到小 dp。设 \\(f_i, j, k\\) 为，考虑到出现次数 \\(\\ge i\\) 的数，这些数一共有 \\(j\\) 个，总共出现了 \\(k\\) 次。

设 \\(C_i = \\sum\\limits_j = 1^n [A_j \\ge i]\\)。\\(f_i + 1 \\to f_i\\) 时，考虑枚举 \\(x\\) 个数出现了 \\(i\\) 次，那么这 \\(x\\) 个数有 \\(\\binomC_i - jx\\) 种方案被确定。要把它们填进 \\(B\\) 中，有 \\(\\frac(C_i - k)!(\\prod\\limits_y = 1^x i!) \\times (C_i - k - ix)\\) 种方案（其实是一个多重组合数）。那么转移式子就是：

\\[f_i, j + x, k + ix \\gets f_i + 1, j, k \\times \\binomC_i - jx \\times \\frac(C_i - k)!(\\prod\\limits_y = 1^x i!) \\times (C_i - k - ix) \\]

注意到 \\(j\\) 和 \\(x\\) 的上界最大是 \\(\\left\\lfloor\\fracni\\right\\rfloor\\) 的，所以时间复杂度其实是 \\(O(n^3)\\)。

code

// Problem: E - Strange Constraints
// Contest: AtCoder - AtCoder Regular Contest 162
// URL: https://atcoder.jp/contests/arc162/tasks/arc162_e
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 3000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const int maxn = 510;
const ll mod = 998244353;

inline ll qpow(ll b, ll p) 
	ll res = 1;
	while (p) 
		if (p & 1) 
			res = res * b % mod;
		
		b = b * b % mod;
		p >>= 1;
	
	return res;


ll n, a[maxn], b[maxn], fac[maxn], ifac[maxn];
int f[maxn][maxn][maxn];

inline ll C(ll n, ll m) 
	if (n < m || n < 0 || m < 0) 
		return 0;
	 else 
		return fac[n] * ifac[m] % mod * ifac[n - m] % mod;
	


inline void upd(int &x, int y) 
	x += y;
	(x >= mod) && (x -= mod);


void solve() 
	scanf("%lld", &n);
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) 
		scanf("%lld", &a[i]);
		++b[a[i]];
		fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
	
	ifac[n] = qpow(fac[n], mod - 2);
	for (int i = n - 1; ~i; --i) 
		ifac[i] = ifac[i + 1] * (i + 1) % mod;
	
	for (int i = n; i; --i) 
		b[i] += b[i + 1];
	
	f[n + 1][0][0] = 1;
	for (int i = n; i; --i) 
		for (int j = 0; (i + 1) * j <= n && j <= b[i + 1]; ++j) 
			for (int k = 0; k <= b[i + 1]; ++k) 
				if (!f[i + 1][j][k]) 
					continue;
				
				ll pw = 1;
				for (int x = 0; j + x <= n && k + i * x <= b[i]; ++x) 
					upd(f[i][j + x][k + i * x], f[i + 1][j][k] * C(b[i] - j, x) % mod * fac[b[i] - k] % mod * ifac[b[i] - k - i * x] % mod * pw % mod);
					pw = pw * ifac[i] % mod;
				
			
		
	
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i <= b[1]; ++i) 
		upd(ans, f[1][i][n]);
	
	printf("%d\\n", ans);


int main() 
	int T = 1;
	// scanf("%d", &T);
	while (T--) 
		solve();
	
	return 0;