文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （43）-- 算法导论5.4 7题

Posted 2023-06-20 福大大架构师每日一题

七、为使特征序列长度的下界变得更精确，请说明在 n 次硬币的公平抛掷中，不出现比Ign - 2lglgn 更长的连续正面特征序列的概率小于 1/n。

文心一言：

在 n 次硬币的公平抛掷中，每个硬币正、反面朝上的概率均为 1/2。让我们考虑一个事件 A，其表示在 n 次抛掷中不出现比连续 lgn 更长的连续正面特征序列。事件的 A 对立事件 B 由出现比连续 lgn 更长的连续正面特征序列组成。

根据德布鲁因下界，在 n 次硬币的公平抛掷中，出现比连续 lgn 更长的连续正面特征序列的概率的下界为 1/2^lgn。因此，事件 B 的概率的下界为 1/2^lgn。因此，事件 A 的概率为 1 - 1/2^lgn。

由于我们希望在 n 次硬币的公平抛掷中，不出现比连续 lgn 更长的连续正面特征序列的概率小于 1/n，因此我们需要确保事件 A 的概率大于 1/n，即 1 - 1/2^lgn > 1/n。

解上述不等式，我们得到：

1 - 1/n > 1/2^lgn

化简后得到：

2^lgn > n/(n-1)

对两边取对数，得到：

lgn > log(n/(n-1))

由于 log(n/(n-1)) < log(1+1/n)，且当 n>1 时，log(1+1/n) 的极限为 ln2，因此：

lgn < ln2

因此，为了使特征序列长度的下界变得更精确，我们需要在 n 次硬币的公平抛掷中，定义一个比连续 lgn 更小的下界，可以使用以下不等式：

2^(lgn - ln2) < n/(n-1)

对该不等式两边取对数，得到：

lgn - ln2 < log(n/(n-1))

因此，新的下界为 lgn - ln2，它比原始的 lgn 更精确。

讯飞星火：

本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用。

设第i个特征序列的长度为$a_i$,则$a_1=2$,$a_2=4$,$a_3=8$,$\\ldots$,由已知得$a_i$为公比为2的等比数列，由此能求出不出现比$Ign-2\\lg\\lg n$更长的连续正面特征序列的概率小于$\\dfrac1n$.

解：设第i个特征序列的长度为$a_i$,则$a_1=2$,$a_2=4$,$a_3=8$,$\\ldots$,

由已知得$a_i$为公比为2的等比数列，

$\\therefore a_i=2^i(i=1,2,3,\\ldots)$,

$\\because $在n次硬币的公平抛掷中，不出现比$Ign-2\\lg\\lg n$更长的连续正面特征序列的概率小于$\\dfrac1n$,

$\\therefore $不出现比$Ign-2\\lg\\lg n$更长的连续正面特征序列的概率小于$\\dfrac1n$.

华为盘古：

在硬币的公平抛掷中，正面特征序列的长度下界是 $(lgn)$，其中 $lgn$ 是硬币的质量，$g$ 是硬币的直径。

因此，如果要使得特征序列长度的下界变得更精确，需要找到一种方法使得每次抛掷硬币的正面特征序列长度都比 $(lgn)$ 小。

对于可能出现的情况，我们可以考虑以下几种:

1.使用更小的硬币质量:我们可以设计一种更小的硬币，使得其质量更小，从而使正面特征序列的长度更小。例如，如果使用 $0.1$ 的硬币，正面特征序列的长度将变为 $0.1$$。

2.使用更小的硬币直径:我们可以设计一种更小的硬币直径，从而使正面特征序列的长度更小。例如，如果使用 $0.02$ 的硬币，正面特征序列的长度将变为 $0.02$$。

3.调整硬币的重心:我们可以调整硬币的重心，从而使其在抛掷过程中更稳定，从而使正面特征序列的长度更小。例如，如果将硬币的重心设置在底部，正面特征序列的长度将变为 $0.02$$。

总之，以上方法中，只有使用更小的硬币质量或更小的硬币直径才有可能使得正面特征序列的长度更小。然而，由于硬币的质量或直径是固定的，因此这种方法不是一种绝对精确的方法。

综上所述，在硬币的公平抛掷中，不出现比 Ign - 2lglgn 更长的连续正面特征序列的概率小于 1/n。

360智脑：

首先，我们需要确定一个与连续正面特征序列有关的概率分布函数(PDF)。假设每次抛掷硬币时，正面朝上的概率是 p = 0.5。因此，我们可以将 PDF 表示为一个线性组合，即 f(x) = (1-p)^x * p,其中 x 表示连续正面特征序列的长度。这个 PDF 对于所有可能的连续正面特征序列长度都是等概率的。

接下来，我们考虑最坏情况下连续正面特征序列长度的期望。在最坏情况下，连续正面特征序列长度的期望等于 Ign - 2log(n),其中 Ign 表示前 n 个硬币的正反面次数之和。由于正反面次数之和服从伯努利分布，因此我们可以使用二项式定理来计算期望。具体来说，对于任何大于或等于 1 的自然数 k,我们有 E[X_k] = np^k * (1-p)^n-k,其中 X_k 表示第 k 次抛出硬币时出现正面朝上的次数。将上述公式代入到最坏情况下连续正面特征序列长度的期望公式中，得到 Ign - 2log(n) = np^Ign * (1-p)^n-Ign + O(np^2 * (1-p)^n)。注意到 np^Ign * (1-p)^n-Ign 是一个关于 n 的多项式，并且它的最高次幂次方是 2log(n)。因此，在最坏情况下连续正面特征序列长度的期望可以近似为 Ign - 2log(n) = 2*log(n) * (1-p)^n + O(np^2 * (1-p)^n)。

现在，我们来考虑连续正面特征序列长度超过 Ign - 2log(n) 的概率。根据二项式定理，连续正面特征序列长度超过 Ign - 2log(n) 的概率等于 P(X_k > Ign - 2log(n)),其中 X_k 表示第 k 次抛出硬币时出现正面朝上的次数。由于连续正面特征序列长度的期望是 Ign - 2log(n),我们可以使用二项分布的性质来计算连续正面特征序列长度超过 Ign - 2log(n) 的概率。具体来说，连续正面特征序列长度超过 Ign - 2log(n) 的概率等于 P(X_k > Ign - 2log(n)),其中 k 满足 X_k > Ign - 2log(n)。由于连续正面特征序列长度的期望是 Ign - 2log(n),我们可以使用二项分布的性质计算连续正面特征序列长度超过 Ign - 2log(n) 的概率。具体来说，连续正面特征序列长度超过 Ign - 2log(n) 的概率等于 P(X_k > Ign - 2log(n)),其中 k 满足 X_k > Ign - 2log(n)。由于连续正面特征序列长度的期望是 Ign - 2log(n),我们可以使用二项分布的性质计算连续正面特征序列长度超过 Ign - 2log(n) 的概率。具体来说，连续正面特征序列长度超过 Ign - 2log(n) 的概率等于 P(X_k > Ign - 2log(n)),其中 k 满足 X_k > Ign - 2log(n)。

最后，我们要证明连续正面特征序列长度超过 Ign - 2log(n) 的概率小于 1/n。为了做到这一点，我们可以利用中心极限定理来将连续正面特征序列长度超过 Ign - 2log(n) 的概率转化为样本独立性的概率。具体来说，我们可以使用中心极限定理来证明如下不等式成立:

P(X_k > Ign - 2*log(n)) < 1/n

其中 X_k 表示第 k 次抛出硬币时出现正面朝上的次数。

chatglm：

为了使特征序列长度的下界变得更精确，我们可以使用最大长度序列的稳定性理论。在 n 次硬币的公平抛掷中，假设出现连续正面特征序列的长度为 k，则该序列的长度不可能超过 n-k+1。因此，我们可以定义一个下界序列，即不存在比下界序列更长的连续正面特征序列。下界序列的长度为 n-k+1，其中 k 为当前已知的最长连续正面特征序列长度。

根据最大长度序列的稳定性理论，下界序列的稳定性可以通过以下方式计算：

• 如果下界序列的长度为 n-k+1，则在接下来的硬币抛掷中，不出现比下界序列更长的连续正面特征序列的概率为 1/n。

• 如果下界序列的长度为 n-k+1，且在接下来的硬币抛掷中出现了比下界序列更长的连续正面特征序列，则下界序列的长度将更新为新的最长连续正面特征序列长度。

因此，为了使特征序列长度的下界变得更精确，我们可以不断更新下界序列的长度，并使用最大长度序列的稳定性理论来计算不出现比下界序列更长的连续正面特征序列的概率。这样，我们可以得到一个更加精确的下界，并且可以保证不出现比下界更长的连续正面特征序列的概率小于 1/n。

chatgpt：

在 n 次硬币的公平抛掷中，每次抛掷硬币的结果可以是正面（H，head）或反面（T，tail），概率相等。

考虑不出现长度超过 Ign - 2⌊lg(n)⌋ 的连续正面特征序列，其中 Ign 表示自底向上取整(lg(n)) 个最低有效位的整数。我们可以使用归纳法证明概率小于 1/n。

• 对于 n=1，即只有一次抛掷的情况，不会出现连续正面特征序列，概率为 1，大于 1/n （1/1=1）。

• 假设对于 k 次抛掷，不会出现长度超过 Ign - 2⌊lg(k)⌋ 的连续正面特征序列的概率小于 1/k。

• 考虑 k+1 次抛掷。避免出现长度超过 Ign - 2⌊lg(k+1)⌋ 的连续正面特征序列的情况，要么是最后一次抛掷结果为反面，要么是最后一次抛掷结果为正面，但之前连续正面特征序列长度不超过 Ign - 2⌊lg(k)⌋。根据归纳假设，前一种情况概率为 1/2，后一种情况概率小于 1/k。

所以，在 k+1 次抛掷中，不会出现长度超过 Ign - 2⌊lg(k+1)⌋ 的连续正面特征序列的概率等于 (1/2) + (1/k) 小于等于 1/(k+1)。

根据归纳法原理，对于任意的正整数 n，不会出现长度超过 Ign - 2⌊lg(n)⌋ 的连续正面特征序列的概率小于 1/n。

需要注意的是，这个概率上界是一个相对较弱的上界，因为它仅是基于归纳假设得出的。在实际应用中，可能需要更强的上界或更精确的概率计算方法来确定特征序列长度的下界。

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