min_25筛小记

Posted 2023-06-19 275307894a

不太清楚这东西的复杂度（

我们将这个题分成两个部分，先求所有质数的函数值之和，然后求所有数的函数值之和。

对于质数来说，这个函数就是一个多项式，将所有项分开考虑。我们假设现在所有数的函数都是这样的，只不过最后只保留质数的答案。

现在有一个很开脑洞的思路，就是设 \\(S(n,k)\\) 表示在前 \\(n\\) 个数中，是质数或者最小质因子大于 \\(p_k\\) 的数的函数值之和。我们让 \\(S(n,k)\\) 从 \\(S(n,k-1)\\) 转移过来，这样需要减去最小质因子恰好为 \\(p_k\\) 的合数，是 \\(p_k(S(\\fracnp_k,k-1)-sp_k-1)\\)，其中 \\(sp_k\\) 表示前 \\(k\\) 个质数的函数值之和。

这东西的复杂度是多少呢？首先我们发现 \\(n\\) 只有 \\(\\sqrt n\\) 种取值，都是整除分块出来的。其次 \\(p_k^2\\leq n\\)，列出式子是 \\(\\int_1^\\sqrt n\\frac\\sqrt x\\ln x\\,\\mathrmdx+\\int_1^\\sqrt n\\frac\\sqrt\\fracnx\\ln n-\\ln x\\,\\mathrmdx=O(\\fracn^\\frac34\\ln n)\\)。

然后考虑推广到一般的情况，这时候就不能把所有项拆开，要一起看。设 \\(g_n\\) 表示上面求出来的 \\(\\leq n\\) 的质数的函数值之和，设 \\(S(n,k)\\) 表示前 \\(n\\) 个数中最小质因子大于 \\(p_k\\) 的数的函数值之和，先是大于 \\(p_k\\) 的质数，是 \\(g_n-sp_k\\)，然后枚举最小的质因子 \\(p_i\\) 及其次数 \\(e\\)，就从 \\(f(p_k^e)(S(\\fracnp_k^e,i)+[e\\not=1])\\) 转移。其中加上 \\(e\\not =1\\) 的意义是加上单纯是这个数的幂次的数的函数值和。直接从 \\(S(n,0)\\) 开始递归就行，时间复杂度据说也是 \\(O(\\fracn^\\frac34\\ln n)\\) 的，有无懂哥教教证明。这一部分应该是可以和第一部分差不多做的，但是听说在现有数据范围下还跑不过直接递归？可能递归访问的状态数比较少？

模板题 的 submission

另外这东西好像最有用的是第一部分，常常用来求区间质数信息啥的，比如这个，根据 submission 合理推断发现大概 1s 能跑 1e12。