[安乐椅#17] 函数对称性与周期性

Posted 2023-06-17 Gokix

自对称&互对称

自对称

• \\(f(a+mx)=f(b-mx) \\Leftrightarrow y=f(x)\\) 的图像关于直线 \\(x= \\dfraca+b2\\) 对称 \\((m \\ne 0)\\).
  操作方法：将括号内两式取中点可得对称轴，即 \\(\\dfraca+mx+b-mx2=\\dfraca+b2\\).

互对称

• 若 \\(I_f(x)=\\mathbfR\\)，则 \\(y=f(a+mx)\\) 与 \\(y=f(b-mx)\\) 关于 \\(x=\\dfracb-a2m\\) 对称 \\((m \\ne 0)\\).
• 若 \\(I_f(x)=\\mathbfR\\)，则 \\(y=c+f(a+mx)\\) 与 \\(y=d-f(b-mx)\\) 关于 \\((\\dfracb-a2m,\\dfracc+d2)\\) 对称 \\((m \\ne 0)\\).
  操作方法：根据 \\(f\\) 同号/异号判断是轴对称/中心对称，令括号内两式相等可解得对称轴/对称中心的横坐标，即 \\(a+mx=b-mx \\Rightarrow x=\\dfracb-a2m\\).

对称性推周期性

• 若 \\(I_f(x)=\\mathbfR,f(x)\\) 关于 \\(x=a\\) 和 \\(x=b\\) 对称，则 \\(f(x)\\) 有周期 \\(T=2|a-b|\\).

• 若 \\(I_f(x)=\\mathbfR,f(x)\\) 关于 \\(x=a\\) 和 \\((b,f(b))\\) 对称，则 \\(f(x)\\) 有周期 \\(T=4|a-b|\\).

• 若 \\(I_f(x)=\\mathbfR,f(x)\\) 关于 \\((a,f(a))\\) 和 \\((b,f(b))\\) 对称，则 \\(f(x)\\) 有周期 \\(T=2|a-b|\\).

函数与导函数的对称性的关系

已知 \\(f(x)\\) 在 \\(\\mathbfR\\) 上连续可导。

由\\(f(x)\\)对称性推\\(f^\\prime(x)\\)对称性

• 若 \\(f(x)\\) 关于 \\(x=a\\) 对称，则 \\(f^\\prime(x)\\) 关于 \\((a,0)\\) 对称。

证明：\\(f(a+x)=f(a-x)\\)
\\(\\Rightarrow f^\\prime(a+x)=-f^\\prime(a-x)\\)
\\(\\Rightarrow f^\\prime(a+x)+f^\\prime(a-x)=0\\)

• 若 \\(f(x)\\) 关于 \\((a,t)\\) 对称，则 \\(f^\\prime(x)\\) 关于 \\(x=a\\) 对称。
  证明同理
  注意：此处 \\(f(x)\\) 对称中心纵坐标可以是任意实数。

由\\(f^\\prime(x)\\)对称性推\\(f(x)\\)对称性

• 若 \\(f^\\prime(x)\\) 关于 \\(x=a\\) 对称，则 \\(f(x)\\) 关于 \\((a,t)\\) 对称。
  注意：无法确定\\(f(x)\\)对称中心的纵坐标。

证明：\\(f^\\prime(a+x)=f^\\prime(a-x)\\)
\\(\\Rightarrow f(a+x)+c_1=-f(a-x)+c_2\\)
\\(\\Rightarrow f(a+x)+f(a-x)=2t\\)

• 若 \\(f^\\prime(x)\\) 关于 \\((a,0)\\) 对称，则 \\(f(x)\\) 关于 \\(x=a\\) 对称。
  注意：\\(f^\\prime(x)\\)对称中心纵坐标必须为 \\(0\\) 才可推导出 \\(f(x)\\) 是轴对称函数。

证明：\\(f^\\prime(a+x)+f^\\prime(a-x)=0\\)
\\(\\Rightarrow f(a+x)-f(a-x)=c\\)
代入 \\(x=0\\)，得 \\(f(a)-f(a)=c\\)
得 \\(c=0\\)
所以，有 \\(f(a+x)-f(a-x)=0\\)
即 \\(f(a+x)=f(a-x)\\)