AGC055

Posted 2023-06-10 jeefy

AGC055

第一次打AGC，好难受。

T1 看了一眼题解，没看懂……但是还是做出来了。

T2 感觉比 T1 简单，构造很好猜。

其他的没时间思考，T1 花了我 2h30min，难受。

A.ABC Identity

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翻译：

给定长度为 \\(3n\\) 的序列，其中字母 ABC 各有 \\(n\\) 个。

一个合法序列 \\(T\\) 满足以下条件：

• 其长度为 \\(3k (1 \\le k \\le n)\\)。

• \\(T_1 = T_2 = ... = T_k\\)

• \\(T_k + 1 = T_k + 2 = ... = T_2k\\)

• \\(T_2k + 1 = T_2k + 2 = ... = T_3k\\)

• \\(T_1, T_k + 1, T_2k + 1\\) 互不相同。

求一个把这个序列分成不多于 \\(6\\) 个合法的序列的方案。

可以证明，一定存在一种合法的划分。

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分三段考虑。

std 做法是关于 ABC 的 6 种排列，依次枚举，贪心选择。

我在考场上是：先考虑前两半，相异配对，网络流解决。

不会产生相同配对的正确性？由于是相异配对，如果产生相同配对，则某一个一定超过了 \\(n\\) 个，不符合题意。所以网络流可以解决，贪心选择没问题。

网络流只有 \\(6 + 2\\) 个点，所以可以看作常数，复杂度 + O(1)

所以整体复杂度 \\(O(n)\\)

傻逼网络流，真的服……

B.ABC Supremacy

考虑如下转化：

\\[A \\overlineABC \\to \\overlineABC A \\\\ B \\overlineABC \\to \\overlineABC B \\\\ C \\overlineABC \\to \\overlineABC C \\]

也就是我们贪心把所有的 \\(\\overlineABC\\) 放在最前面即可。（相当于删除）

由于拼接后也可能存在 \\(\\overlineABC\\)，所以利用栈的思想处理。

复杂度 \\(O(n)\\)。

C.Weird LIS

方法1：组合

参考 AGC055C - Legitimity 的博客 - 洛谷博客 和补充 题解：AGC55C Weird LIS - Edward1002001 的博客 - 洛谷博客

这里再做一点说明。

• 无用点为什么不可连续？考虑 4 3 5 2 1 7 6，也就是 非 非 必 无 无 非 非。这个排列和 2 1 3 7 6 5 4 ，也就是 非 非 必 非 非 非 非 是等价的。也就是说，连续的 非 会使得我们重复计数。所以不可以连续。

• ans 初始设置？其实枚举的是没有必经点的情况（全是非必经点），需要满足：

  • \\(k \\le \\lfloor \\frac n2 \\rfloor\\)

  • \\(k \\le m\\)

  • \\(k \\ge 2\\)

  所以才有 \\(\\min(m, \\lfloor \\frac n2 \\rfloor) - 1\\)。但是我们还需要考虑当 \\(m = n - 1\\) 时，可以存在全是必经点的情况，也就是 1 2 3 ... n 的情况。

• 为什么 \\(\\min(m, x + y) - \\max(x, 3) + 1\\)？这里枚举的是 \\(k\\)，\\(k\\) 的下界确定了，因为存在 \\(k - 1\\)，所以 \\(k - 1 \\ge 2 \\iff k \\ge 3\\)。

其他部分最终式子为：

\\[\\sum_x = 1^\\min(m, n - 1) \\sum_y = 0^\\lfloor \\frac n - x2 \\rfloor x + y \\choose x x + 1 \\choose n - x - 2y (\\min(m, x + y) - \\max(x, 3) + 1) \\]

方法2：自动机

参考 at_agc055_c Weird LIS 题解 - juruo - 洛谷博客

这里做一点解释：

• 状态机的设定，4种状态：

  1. 除了 CAN，都能放

  2. 只能放 CAN

  3. 可以放 MUST 或者 USELESS，之后 MUST 还可以跟 MAY

  4. 可以放 MUST 或者 USELESS，之后 MUST 不可以跟 MAY

• 为什么有状态4？因为 k 确定了红黑对的数量，而我们是贪心的把所有红黑对尽可能放在前面。而可能存在只有 非 非 无 必 的情况，所以有状态 3，通过 MUST 转移到 1，通过 USELESS 转移到 4，但是不能再来一个 MAY！

D.ABC Ultimatum

一道猜结论的题。

观察三个串，有 ABC，BCA，CAB，我们考察能划分成这三种串的串的性质。

考虑每一个字母出现的次数：由于 B 只在 BCA 中在 A 前面，其他的类似。我们考虑定义 \\(M_B = \\max S_B - S_A\\)，其他的类似。

可以发现，\\(M_B \\le C_BCA\\)，同理，得到 \\(M_A + M_B + M_C \\le C_ABC + C_BCA + C_CAB = N\\)。

这是必要条件，所以考虑证明充分性（不会。

所以我们可以设出一个 \\(O(n^7)\\) 的 DP，令 \\(f_a, b, c, x, y, z\\) 表示 ABC 的数量以及 \\(M_A, M_B, M_C\\)。

不过考虑 \\(a + b + c = i\\) 的时候才有贡献，所以可以省一维，变为 \\(O(n^6)\\)。

E.Set Merging

神仙思路题。

我们把整个序列看作一个排列，每一次的合并相当于交换排列中的两个位置。

而最终 \\(S_i \\to [ \\min_j = i^n P_j, \\max_j = 1^i P_j]\\)，一个后缀 \\(\\min\\) 和一个前缀 \\(\\max\\)。

考虑归纳法，分 \\(P_i > P_i + 1\\) 或者 \\(P_i < P_i + 1\\) 讨论。

最终就是求合法序列的最小逆序对数。考虑贪心放置，用数状数组求。

总复杂度 \\(O(n + n \\log n)\\)，可以通过6指针的方法优化到 \\(O(n + n)\\)。

AGC增长服务3-App Linking示例

前言：上一次笔者给大家带来了AGC领域的云托管服务的学习。这次我们再继续深化学习AGC的相关知识。在文章开始之前，再给读者简单介绍一下AGC，以免第一次来的读者不了解。所谓AGC就是AppGallery Connect的简称，为用户的应用进行创意、开发、分发、运营、经营各环节提供一站式服务，说的通俗