Thermodynamics---PV Diagram

Posted 2023-06-09 siranlee

Thermodynamics---PV Diagram

我们这里主要讨论上面四种PV图的\\(\\Delta U,Q,W\\), 其中\\(\\Delta U\\)是系统的内能，\\(Q\\)是系统吸收的能量，\\(W\\)是外界对系统做的功，我们在理想单原子气体上面讨论。

Preliminaries

我们一般把内能\\(U\\)看做温度和体积的函数，即\\(U= U(V,T)\\), 所以\\(U\\)的关于\\(V,T\\)的变化可以写为关于这二者的全微分

\\(dU = (\\frac\\partial U\\partial T)_VdT+(\\frac\\partial U\\partial V)_TdV\\)

又因为热一告诉我们

气体变化的内能等于气体吸收的热量与外界对其做功的和，即

\\(\\Delta U = \\Delta Q+\\Delta W\\)

对于一个可逆过程，有\\(\\Delta W = Fdx = -\\fracFAAdx = -pdV\\)(负号的意思是dv为负，体积减小，外界做正功)， 这样有

\\(\\fracdQdT = \\fracdU+dWdT= (\\frac\\partial U\\partial T)_V+((\\frac\\partial U\\partial V)_T+p)\\fracdVdT\\)

对于恒容过程来说\\(dV = 0\\), 且因为第一项是在容器体积一定的情况下讨论的，所以有

$(\\fracdQdT)_V= C_V = (\\frac\\partial U\\partial T)_V $

即为恒容热容. 同样地，对于恒压过程来说，

\\((\\fracdQdT)_P = C_P = (\\frac\\partial U\\partial T)_V+((\\frac\\partial U\\partial V)_T+p)(\\frac\\partial V\\partial T)_p\\)

即为恒压热容。

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现在考虑1摩尔理想的单原子气体，理想的单原子气体的内能\\(U\\)全部是粒子的动能，根据能量均分定理，我们有

\\(U = \\frac32RT = \\frac32Nk_BT\\)

所以有

\\(C_V = (\\frac\\partial U\\partial T)_V = \\frac32Nk_B\\)

所以有\\(U = C_VT\\)

这里\\(U\\)与\\(V\\)无关，即对于理想气体

\\((\\frac\\partial U\\partial V)_T = 0\\)

因为是理想气体，所以根据\\(PV= Nk_BT\\)， 有

\\(\\frac\\partial V\\partial T = \\fracNk_BP\\)

\\(C_P = C_V+Nk_B = \\frac52Nk_B\\)

对于恒压过程

\\(\\Delta W = -PdV\\)

这里\\(dV\\)是大于0的，所以气体对外做正功，导致气体的内能减小，即对于数值来说

\\(\\Delta U = \\Delta Q -W\\)

这里\\(\\Delta U = \\frac32Nk_B\\Delta T\\), 所以数值上

\\(\\Delta Q = \\Delta U + W\\)

恒压过程中，根据\\(PV = Nk_BT\\)， 体积增大，温度升高，所以\\(\\Delta U\\)是大于0的，这意味着\\(\\Delta Q\\)也是大于0的，所以这个过程中，气体会从外界吸收热量。

对于恒容过程

\\(\\Delta W = 0\\)

因为这里没有体积的变化，气体只有通过改变体积来对外做功，所以没有体积的变化就没有做功。所以\\(\\Delta U = \\Delta Q =\\frac32V(P_2-P_1) = \\frac32Nk_B\\Delta T=C_V\\Delta T\\)(第一个等号无论是在数值还是在符号上都成立)。

上述恒容过程中，同样地，体积不变，压强减小，温度降低，\\(\\Delta U\\)是小于0的，所以\\(\\Delta Q\\)是小于0的，所以这个过程中，气体会向外界放出热量。

对于恒温过程

因为是在恒温条件下，所以\\(\\Delta T = 0\\), 所以有：\\(\\Delta U =0\\)

所以数值上有\\(\\Delta Q = \\Delta W\\)

而数值上

\\(\\Delta W = \\int_v_1^v_2 \\fracNk_BTVdV = Nk_BT\\ln(\\fracv_2v_1) = P_1V_1\\ln(\\fracv_2v_1) = P_2V_2\\ln(\\fracv_2v_1)\\)

上述恒温过程中，体积增大，气体对外做正功，外界对气体做负功，所以\\(\\Delta W\\)是小于0的，这意味着气体能量在减小，温度会降低，但这是个恒温过程，所以此时必须吸收热量来补偿，所以\\(\\Delta Q\\)是大于0的。所以这个过程中，气体会从外界吸收热量。

对于绝热过程

因为绝热了，所以有\\(\\Delta Q = 0\\)

所以数值上有\\(\\Delta U = \\Delta W = C_V\\Delta T\\)

上述绝热过程中，气体膨胀对外做正功，所以外界对气体做负功，这意味着\\(\\Delta W\\)是小于0的，此时没有外界的热量补充，温度会降低，所以\\(\\Delta U\\)也是小于0的，也就是说绝热过程中，气体的内能是在减少的。

zend框架2流程图

我正在尝试理解ZF2流程，但如果没有像ZF1那样的流程图，那就太难了：

http://tournasdimitrios1.files.wordpress.com/2011/05/zend-framework-sequence_flowchart.jpg http://otroblogmas.com/wp-content/uploads/2010/07/zend-framework-flow-diagram.png

或者我如何记录在我的应用程序中调度的自定义事件？

答案

有一张备忘单可供选择：

• German Version of ZF2 Cheat-Sheet（不再提供）
• English Version of ZF2 Cheat-Sheet（不再提供）
• English Version of ZF2 Cheat-Sheet (Alternative Link)

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