数据结构吉司机线段树

Posted 2023-05-31 fanghaoyu801212

【数据结构】吉司机线段树(Segment Tree Beats)

吉司机线段树，是由杭州学军中学的吉如一在2016年国集论文当中提出的，解决了区间最值操作和区间历史最值问题。

题目描述

给出一个长度为 \\(n\\) 的数列 \\(A\\)，同时定义一个辅助数组 \\(B\\)，\\(B\\) 开始与 \\(A\\) 完全相同。接下来进行了 \\(m\\) 次操作，操作有五种类型，按以下格式给出：

• 1 l r k：对于所有的 \\(i\\in[l,r]\\)，将 \\(A_i\\) 加上 \\(k\\)（\\(k\\) 可以为负数）。
• 2 l r v：对于所有的 \\(i\\in[l,r]\\)，将 \\(A_i\\) 变成 \\(\\min(A_i,v)\\)。
• 3 l r：求 \\(\\sum_i=l^rA_i\\)。
• 4 l r：对于所有的 \\(i\\in[l,r]\\)，求 \\(A_i\\) 的最大值。
• 5 l r：对于所有的 \\(i\\in[l,r]\\)，求 \\(B_i\\) 的最大值。

在每一次操作后，我们都进行一次更新，让 \\(B_i\\gets\\max(B_i,A_i)\\)。

算法描述

对于1、3、4操作，是最基本的线段树区间加，区间求和、求max的操作，详见P3372 【模板】线段树 1 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)，我们先来解决操作2，我们发现想要动态探测哪些值大于\\(v\\)，并进行min操作十分艰难，因为每个大于\\(v\\)的数不一样，所以每个大于\\(v\\)的数要减去的数就不一样，很难统计。

那就让区间内大于\\(v\\)的数只有一个好了。

对于一个区间，我们记录一个最大值\\(maxn\\)，和一个严格次大值\\(sec\\)（只有一个值时为\\(-inf\\)），对于区间取\\(min\\)操作，我们分为以下三种情况讨论：

1.\\(k \\geq maxn\\)，\\(k\\)在这个区间之内不能更新任何一个值，直接\\(return\\)

2.\\(maxn > k > sec\\)，\\(k\\)只能更新\\(maxn\\)，让\\(sum -= maxn * cnt\\)(区间最大值个数)\\(,maxn = k\\)，因为要下传操作，所以让\\(tag2\\)(更新\\(maxn\\)的\\(tag\\))减去(\\(maxn - k\\))

3.\\(k \\leq sec\\),分别向\\(lc\\)和\\(rc\\)两边递归更新答案。

这样我们就完成了对最小值的更新，同时向两边递归，会不会影响复杂度？事实上这个操作的复杂度仍然是\\(O(logn)\\)的，证明如下：
（选自吉如一2016国家集训队论文）

代码：

inline void modify_min(int l,int r,int L,int R,int k,int pos)

	if(k >= t[pos].maxn) return;
	if(L <= l && r <= R && k > t[pos].sec)
	
		t[pos].sum -= 1ll * t[pos].cnt * (t[pos].maxn - k);
		t[pos].tag2 -= t[pos].maxn - k;
		t[pos].maxn = k;
		return;
	
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(L <= mid) modify_min(l,mid,L,R,k,pos << 1);
	if(R > mid) modify_min(mid + 1,r,L,R,k,pos << 1 | 1);
	pushup(pos);

现在来看操作5，我们发现，因为修改只有加，一个位置的历史最大值，其实是这个位置原来的值（不一定是原始值，可以看作是pushdown之前的值）加上pushdown之前出现过最大的tag，我们发现在上面的\\(modify\\_min\\)操作中最大值会单独改变，所以区间中的最大值与其他数改变的量（也就是tag）是不一样的，所以我们记录\\(tag1\\),\\(tag2\\)代表其他数，最大值的改变量，用\\(tag3\\),\\(tag4\\)表示\\(tag1\\),\\(tag2\\)在pushdown之前的最大值，这样我们在pushdown的时候就有：

\\[history\\_max_pos = max\\history\\_max_pos,max_pos + tag4\\ \\]

每次更新\\(k1\\)和\\(k3\\)的时候，都相应的更新\\(k2\\)和\\(k4\\)

其实最难的部分在更新标记上，这里我们先讲上传：

和、最大值、历史最大值都可以左右区间直接合并更新，但是对于次大值和最大值个数，我们分类讨论：

1.\\(maxn_lc == maxn_rc\\) : 这个时候次大值应当等于两儿子的次大值取\\(max\\)，而最大值计数等于两边相加。

2.\\(maxn_lc > maxn_rc\\) : 次大值等于左边的次大值和右边的最大值取\\(max\\)，最大值计数等于左边的\\(cnt\\)

3.\\(maxn_lc < maxn_rc\\) : 次大值等于左边的最大值和右边的次大值取\\(max\\)，最大值计数等于右边的\\(cnt\\)

这样就完成了上传

inline void pushup(int pos)

	t[pos].sum = t[pos << 1].sum + t[pos << 1 | 1].sum;
	t[pos].maxn = max(t[pos << 1].maxn,t[pos << 1 | 1].maxn);
	t[pos].hismax = max(t[pos << 1].hismax,t[pos << 1 | 1].hismax);
	if(t[pos << 1].maxn == t[pos << 1 | 1].maxn) 
		t[pos].sec = max(t[pos << 1].sec,t[pos << 1 | 1].sec),t[pos].cnt = t[pos << 1].cnt + t[pos << 1 | 1].cnt;
	else if(t[pos << 1].maxn > t[pos << 1 | 1].maxn)
		t[pos].sec = max(t[pos << 1].sec,t[pos << 1 | 1].maxn),t[pos].cnt = t[pos << 1].cnt;
	else 
		t[pos].sec = max(t[pos << 1].maxn,t[pos << 1 | 1].sec),t[pos].cnt = t[pos << 1 | 1].cnt;

对于下传，我们也需要分类讨论：
如果全局最大值在左边，那么左边的最大值要按照最大值的方式来更新（即将\\(tag2\\)和\\(tag4\\)传下去），否则就将左边不管是不是左边的最大值，都用\\(tag1\\)和\\(tag3\\)来更新。

如果全局最大值在右边，同理。

注意这两个条件可以同时成立，不要写else

inline void pushdown(int pos,int l,int r)

	int mid = (l + r) >> 1;
	int mx = max(t[pos << 1].maxn,t[pos << 1 | 1].maxn);
	if(mx == t[pos << 1].maxn) change(pos << 1,l,mid,t[pos].tag1,t[pos].tag2,t[pos].tag3,t[pos].tag4);
	else change(pos << 1,l,mid,t[pos].tag1,t[pos].tag1,t[pos].tag3,t[pos].tag3);
	if(mx == t[pos << 1 | 1].maxn) change(pos << 1 | 1,mid + 1,r,t[pos].tag1,t[pos].tag2,t[pos].tag3,t[pos].tag4);
	else change(pos << 1 | 1,mid + 1,r,t[pos].tag1,t[pos].tag1,t[pos].tag3,t[pos].tag3);
	t[pos].tag1 = 0;
	t[pos].tag2 = 0;
	t[pos].tag3 = 0;
	t[pos].tag4 = 0;

inline void change(int pos,int l,int r,int k1,int k2,int k3,int k4)

	t[pos].sum += 1ll * (r - l + 1 - t[pos].cnt) * k1 + 1ll * t[pos].cnt * k2;
	t[pos].hismax = max(t[pos].hismax,t[pos].maxn + k4);
	t[pos].maxn += k2;
	if(t[pos].sec != -inf) t[pos].sec += k1;
	t[pos].tag4 = max(t[pos].tag4,t[pos].tag2 + k4);
	t[pos].tag3 = max(t[pos].tag3,t[pos].tag1 + k3);
	t[pos].tag1 += k1;
	t[pos].tag2 += k2;

注意\\(sec\\)一行，如果这个节点没有次大值（就是整个区间只有一个值），那么就不能更新值为\\(-inf\\)的次大值。

区间加时注意要更新全部变量：

inline void modify_add(int l,int r,int L,int R,int k,int pos)
 
	if(L <= l && r <= R)
	
		t[pos].sum += 1ll * k * (r - l + 1 - t[pos].cnt) + 1ll * k * t[pos].cnt;
		t[pos].maxn += k;
		t[pos].hismax = max(t[pos].hismax,t[pos].maxn);
		if(t[pos].sec != -inf) t[pos].sec += k;
		t[pos].tag1 += k;t[pos].tag2 += k;
		t[pos].tag3 = max(t[pos].tag3,t[pos].tag1);
		t[pos].tag4 = max(t[pos].tag4,t[pos].tag2); 
		return;
	
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(L <= mid) modify_add(l,mid,L,R,k,pos << 1);
	if(R > mid) modify_add(mid + 1,r,L,R,k,pos << 1 | 1);
	pushup(pos);

对最大值，和，历史最大值的查询正常查询就好，注意在建树的时候给次大值附上\\(-inf\\)的初值

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 5,inf = 2e9;
struct Node
	long long sum;
	int maxn,sec,cnt,hismax,tag1,tag2,tag3,tag4;
t[N * 4];
int n,m;
inline void pushup(int pos)

	t[pos].sum = t[pos << 1].sum + t[pos << 1 | 1].sum;
	t[pos].maxn = max(t[pos << 1].maxn,t[pos << 1 | 1].maxn);
	t[pos].hismax = max(t[pos << 1].hismax,t[pos << 1 | 1].hismax);
	if(t[pos << 1].maxn == t[pos << 1 | 1].maxn) 
		t[pos].sec = max(t[pos << 1].sec,t[pos << 1 | 1].sec),t[pos].cnt = t[pos << 1].cnt + t[pos << 1 | 1].cnt;
	else if(t[pos << 1].maxn > t[pos << 1 | 1].maxn)
		t[pos].sec = max(t[pos << 1].sec,t[pos << 1 | 1].maxn),t[pos].cnt = t[pos << 1].cnt;
	else 
		t[pos].sec = max(t[pos << 1].maxn,t[pos << 1 | 1].sec),t[pos].cnt = t[pos << 1 | 1].cnt;

inline void change(int pos,int l,int r,int k1,int k2,int k3,int k4)

	t[pos].sum += 1ll * (r - l + 1 - t[pos].cnt) * k1 + 1ll * t[pos].cnt * k2;
	t[pos].hismax = max(t[pos].hismax,t[pos].maxn + k4);
	t[pos].maxn += k2;
	if(t[pos].sec != -inf) t[pos].sec += k1;
	t[pos].tag4 = max(t[pos].tag4,t[pos].tag2 + k4);
	t[pos].tag3 = max(t[pos].tag3,t[pos].tag1 + k3);
	t[pos].tag1 += k1;
	t[pos].tag2 += k2;

inline void pushdown(int pos,int l,int r)

	int mid = (l + r) >> 1;
	int mx = max(t[pos << 1].maxn,t[pos << 1 | 1].maxn);
	if(mx == t[pos << 1].maxn) change(pos << 1,l,mid,t[pos].tag1,t[pos].tag2,t[pos].tag3,t[pos].tag4);
	else change(pos << 1,l,mid,t[pos].tag1,t[pos].tag1,t[pos].tag3,t[pos].tag3);
	if(mx == t[pos << 1 | 1].maxn) change(pos << 1 | 1,mid + 1,r,t[pos].tag1,t[pos].tag2,t[pos].tag3,t[pos].tag4);
	else change(pos << 1 | 1,mid + 1,r,t[pos].tag1,t[pos].tag1,t[pos].tag3,t[pos].tag3);
	t[pos].tag1 = 0;
	t[pos].tag2 = 0;
	t[pos].tag3 = 0;
	t[pos].tag4 = 0;

inline void build(int l,int r,int pos)

	if(l == r)
	
		cin>>t[pos].sum;
		t[pos].maxn = t[pos].sum;
		t[pos].hismax = t[pos].maxn;
		t[pos].sec = -inf;
		t[pos].tag1 = t[pos].tag2 = t[pos].tag3 = t[pos].tag4 = 0;
		t[pos].cnt = 1;
		return;
	
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(l,mid,pos << 1);
	build(mid + 1,r,pos << 1 | 1);
	pushup(pos);

inline void modify_add(int l,int r,int L,int R,int k,int pos)
 
	if(L <= l && r <= R)
	
		t[pos].sum += 1ll * k * (r - l + 1 - t[pos].cnt) + 1ll * k * t[pos].cnt;
		t[pos].maxn += k;
		t[pos].hismax = max(t[pos].hismax,t[pos].maxn);
		if(t[pos].sec != -inf) t[pos].sec += k;
		t[pos].tag1 += k;t[pos].tag2 += k;
		t[pos].tag3 = max(t[pos].tag3,t[pos].tag1);
		t[pos].tag4 = max(t[pos].tag4,t[pos].tag2); 
		return;
	
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(L <= mid) modify_add(l,mid,L,R,k,pos << 1);
	if(R > mid) modify_add(mid + 1,r,L,R,k,pos << 1 | 1);
	pushup(pos);

inline void modify_min(int l,int r,int L,int R,int k,int pos)

	if(k >= t[pos].maxn) return;
	if(L <= l && r <= R && k > t[pos].sec)
	
		t[pos].sum -= 1ll * t[pos].cnt * (t[pos].maxn - k);
		t[pos].tag2 -= t[pos].maxn - k;
		t[pos].maxn = k;
		return;
	
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(L <= mid) modify_min(l,mid,L,R,k,pos << 1);
	if(R > mid) modify_min(mid + 1,r,L,R,k,pos << 1 | 1);
	pushup(pos);

inline long long query_sum(int l,int r,int L,int R,int pos)

	if(L <= l && r <= R) return t[pos].sum;
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1;
	long long ret = 0;
	if(L <= mid) ret += query_sum(l,mid,L,R,pos << 1);
	if(R > mid) ret += query_sum(mid + 1,r,L,R,pos << 1 | 1);
	pushup(pos);
	return ret;

inline int query_max(int l,int r,int L,int R,int pos)

	if(L <= l && r <= R) return t[pos].maxn;
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1,ret = -inf;
	if(L <= mid) ret = max(ret,query_max(l,mid,L,R,pos << 1));
	if(R > mid) ret = max(ret,query_max(mid + 1,r,L,R,pos << 1 | 1));
	pushup(pos);
	return ret;

inline int query_hismax(int l,int r,int L,int R,int pos)

	if(L <= l && r <= R) return t[pos].hismax;
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1,ret = -inf;
	if(L <= mid) ret = max(ret,query_hismax(l,mid,L,R,pos << 1));
	if(R > mid) ret = max(ret,query_hismax(mid + 1,r,L,R,pos << 1 | 1));
	pushup(pos);
	return ret;

int main()

	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	build(1,n,1);
	int op,l,r,k;
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	
		cin>>op>>l>>r;
		switch(op)
		
			case 1:
				cin>>k;
				modify_add(1,n,l,r,k,1);
				break;
			case 2:
				cin>>k;
				modify_min(1,n,l,r,k,1);
				break;
			case 3:
				cout<<query_sum(1,n,l,r,1)<<endl;
				break;
			case 4:
				cout<<query_max(1,n,l,r,1)<<endl;
				break;
			case 5:
				cout<<query_hismax(1,n,l,r,1)<<endl;
				break;
		
	
	return 0;

"所有的真理，都是符合客观事实的，更是顺着逻辑的。"

Segment Tree Beats!（吉司机线段树）

Segment Tree Beats

(Q1.)给定长度为(n)的序列(A)，支持以下操作：1、区间取(min)；2、区间查询最大值；3、区间求和。

const int N = 1000005;
const int inf = 1<<30;
int n, m, a[N];
#define lc (o << 1)
#define rc (o << 1 | 1)
int ma[N*4], se[N*4], tot[N*4];
ll sum[N*4];
void pushup(int o) {
	sum[o] = sum[lc] + sum[rc];
	ma[o] = std::max(ma[lc], ma[rc]);
	se[o] = std::max(se[lc], se[rc]);
	if (ma[lc] != ma[rc]) chkmax(se[o], std::min(ma[lc], ma[rc]));
	tot[o] = (ma[o] == ma[lc] ? tot[lc] : 0) + (ma[o] == ma[rc] ? tot[rc] : 0);
}
void pushdown(int o) {
	if (ma[lc] > ma[o]) sum[lc] -= 1ll*(ma[lc]-ma[o])*tot[lc], ma[lc] = ma[o];
	if (ma[rc] > ma[o]) sum[rc] -= 1ll*(ma[rc]-ma[o])*tot[rc], ma[rc] = ma[o];
}
void build(int o, int l, int r) {
	if (l == r) { sum[o] = ma[o] = a[l], se[o] = -inf, tot[o] = 1; return; }
	int mid = l+r>>1;
	build(lc, l, mid), build(rc, mid+1, r);
	pushup(o);
}
void modify(int o, int l, int r, int x, int y, int v) {
	if (r < x || y < l) return;
	if (x <= l && r <= y && v > se[o]) {
		if (v >= ma[o]) return;
		sum[o] -= 1ll*(ma[o]-v)*tot[o]; ma[o] = v; return;
	}
	int mid = l+r>>1; pushdown(o);
	modify(lc, l, mid, x, y, v), modify(rc, mid+1, r, x, y, v);
	pushup(o);
}
int qmax(int o, int l, int r, int x, int y) {
	if (r < x || y < l) return -inf;
	if (x <= l && r <= y) return ma[o];
	int mid = l+r>>1; pushdown(o);
	return std::max(qmax(lc, l, mid, x, y), qmax(rc, mid+1, r, x, y));
}
ll qsum(int o, int l, int r, int x, int y) {
	if (r < x || y < l) return 0;
	if (x <= l && r <= y) return sum[o];
	int mid = l+r>>1; pushdown(o);
	return qsum(lc, l, mid, x, y) + qsum(rc, mid+1, r, x, y);
}
int main() {
	for (int T = read(); T; T--) {
		n = read(), m = read();
		rep(i, 1, n) a[i] = read();
		build(1, 1, n);
		while (m--) {
			int ty = read(), x = read(), y = read();
			if (!ty) { int t = read(); modify(1, 1, n, x, y, t); }
			else printf("%lld
", ty == 1 ? qmax(1, 1, n, x, y) : qsum(1, 1, n, x, y));
		}
	}
	return 0;
}