最小斯坦纳树

Posted 2023-05-24 kyEEcccccc@cnblogs

前言

我不太喜欢写板子，但是这个东西的状压 DP 太有启发性了。

问题简述

一个无向图 \\(G = (V, E)\\) 关于点集 \\(S\\subseteq V\\) 的斯坦纳树定义为 \\(G\\) 的一个子图 \\(G\' = (V\', E\')\\) 满足：

1. \\(G\'\\) 联通
2. \\(S\\subseteq V\'\\)

求最小斯坦纳树，即给定边权 \\(f: E\\mapsto \\mathbb R^+(\\mathbb Z^+)\\)，最小化斯坦纳树所有边的边权和。斯坦纳树不一定是树，但是最小斯坦纳树一定是树。

做法

首先一个朴素做法：\\(f_T\\) 表示关于 \\(T\\) 的最小斯坦纳树。初始的时候把所有边加进去，然后每次枚举一个公共点，尝试合并两个集合。时间复杂度 \\(\\Theta(n3^n)\\)。实在是烂到家了，比不过枚举点集跑最小生成树的 \\(\\Theta(m\\log m+2^nm\\alpha(n))\\)。

但是我会优化！注意到，我们不关心 \\(S\\) 以外的那些点都有谁被连通了，只是利用它们去连那些 \\(S\\) 里的点。所以设 \\(f_i, T\\) 表示 \\(\\i\\\\cup T\\) 的最小斯坦纳树。那么转移有两种：不改变 \\(i\\)，把 \\(T\\) 枚举子集进行合并，没有代价。\\(i\\) 变成 \\(j\\)，\\(T\\) 不变，代价是最短路。时间复杂度是 \\(\\Theta(n3^|S| + \\min((m\\log m)2^|S|, n^22^|S| + n^3))\\)。反正自己想出来非常困难。

状压dp斯坦纳树

最小斯坦纳树可得到保证k个关键点的最小边权子图的边权之和，实际上利用了状压dp思想，原理有空再补。

【模板】最小斯坦纳树

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <typename _T> inline void  read(_T &x)
	
	x=0;
	bool f=0;
	char c=getchar();
	for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) f|=(c=='-');
	for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	x=(f)?(-x):x;

typedef long long LL;
const int N=4096;
struct node 
	int nex,to,val;
edge[N];
int tot=0,head[N];
void add(int x,int y,int z)

	edge[++tot].nex=head[x];
	edge[tot].to =y;
	edge[tot].val=z;
	head[x]=tot;

int n,m,k,p[N],dp[N][N];
bool vis[N];
priority_queue<pair<int,int> > q;
void dij(int s)

	memset(vis,0,sizeof(vis));
	while(!q.empty())
	
		int x=q.top().second;q.pop();
		if(vis[x]) continue;
		vis[x]=1;
		for(int i=head[x];i;i=edge[i].nex)
		
			int y=edge[i].to,z=edge[i].val;
			if(dp[y][s]>dp[x][s]+z)
			
				dp[y][s]=dp[x][s]+z;
				q.push(make_pair(-dp[y][s],y));
			
		
	

int main()

	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	read(n);read(m);read(k);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	
		int x,y,z;
		read(x);read(y);read(z);
		add(x,y,z);add(y,x,z);
	
	for(int i=0;i<k;i++)
	
		read(p[i+1]);
		dp[p[i+1]][1<<i]=0;
	
	for(int i=1;i<=(1<<k)-1;i++)
	
		for(int j=1;j<=n;j++)
		
			for(int kk=i&(i-1);kk;kk=i&(kk-1))
			
				dp[j][i]=min(dp[j][i],dp[j][kk]+dp[j][i^kk]);
			
			if(dp[j][i]!=dp[0][0]) q.push(make_pair(-dp[j][i],j));
		
		dij(i);
	
	printf("%d\\n",dp[p[k]][(1<<k)-1]);
	return 0;

管道连接

本质为最小斯坦纳森林

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
using namespace std;
template <typename _T> inline void  read(_T &x)
	
	x=0;
	bool f=0;
	char c=getchar();
	for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) f|=(c=='-');
	for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	x=(f)?(-x):x;

typedef long long LL;
const int N=4086,M=(1<<11)+15;
struct node 
	int nex,to;
	LL val;
edge[N*10];
int tot=0,head[N];
inline void add(int x,int y,int z)

	edge[++tot].nex=head[x];
	edge[tot].to =y;
	edge[tot].val=z;
	head[x]=tot;

int pp[15];
int n,m,K,p[N],c[N],k[15];
LL dp[N][M],g[M];
bool vis[N],ff[15];
priority_queue<pair<LL,int> > q;
inline void  dij(int s)

	memset(vis,0,sizeof(vis));
	while(!q.empty())
	
		int x=q.top().second;q.pop();
		if(vis[x]) continue;
		vis[x]=1;
		for(int i=head[x];i;i=edge[i].nex)
		
			int y=edge[i].to,z=edge[i].val;
			if(dp[y][s]>dp[x][s]+z)
			
				dp[y][s]=dp[x][s]+z;
				q.push(make_pair(-dp[y][s],y));
			
		
	

signed main()

	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	memset(g,0x3f,sizeof(g));
	read(n);read(m);read(K);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	
		int x,y,z;
		read(x);read(y);read(z);
		add(x,y,z);add(y,x,z);
	
	for(int i=1;i<=K;i++)
	
		read(c[i]);
		read(p[i]);
		pp[c[i]]=p[i];
		ff[c[i]]=1;
		k[c[i]]|=(1<<(i-1));
		dp[p[i]][1<<(i-1)]=0;
	
	for(int i=1;i<=(1<<K)-1;i++)
	
		for(int j=1;j<=n;j++)
		
			for(int kk=i&(i-1);kk;kk=i&(kk-1))
			
				dp[j][i]=min(dp[j][i],dp[j][kk]+dp[j][i^kk]);
			
			if(dp[j][i]!=dp[0][0]) q.push(make_pair(-dp[j][i],j));
		
		dij(i);
	
	for(int i=1;i<=(1<<K)-1;i++)
	
		bool flag=0;
		for(int j=1;j<=10;j++)
		
			if(((i&k[j])!=k[j])&&(i&k[j])) 
			
//				cout<<i<<" "<<k[j]<<endl;
				flag=1;
				break;
			
		
		if(flag)continue;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		
			g[i]=min(g[i],dp[j][i]);
		
	
	for(int i=1;i<=(1<<K)-1;i++)
	
		for(int kk=i&(i-1);kk;kk=i&(kk-1))
		
			g[i]=min(g[i],g[kk]+g[i^kk]);
		
	
	printf("%lld\\n",g[(1<<K)-1]);
	return 0;