同余的基本性质

Posted 2023-05-20 wonder-land

同余的基本性质

注： 这里默认 $a , b , c ,d \\in \\mathbbZ , m , k , d \\in \\mathbbZ^+ $

• 若 $a_1 \\equiv b_1 \\pmod m $ ，\\(a_2 \\equiv b_2 \\pmod m\\) ，
  则 \\(a_1 \\pm a_2 \\equiv b_1 \\pm b_2 \\pmod m\\) .

• 若 $a_1 \\equiv b_1 \\pmod m $ ，\\(a_2 \\equiv b_2 \\pmod m\\) ，
  则 \\(a_1 * a_2 \\equiv b_1 * b_2 \\pmod m\\) .

• 若 \\(a + b \\equiv c \\pmod m\\) ，
  则 \\(a \\equiv c - b \\pmod m\\) .

• 若 \\(a \\equiv b \\pmod m\\) ，
  则 \\(ak \\equiv bk \\pmod mk\\) .

• 若 \\(d \\mid a , d \\mid b , d \\mid m , a \\equiv b \\pmod m\\) ，
  则 \\(\\fracad \\equiv \\fracbd \\pmod \\fracmd\\) .

• 若 \\(d \\mid m , a \\equiv b \\pmod m\\) ，
  则 \\(a \\equiv b \\pmod d\\) .

• 若 \\(a \\equiv b \\pmod m\\) ，
  则 \\((a,m) = (b,m)\\) .

$ \\ \\ \\ \\ $
若 \\(d \\mid m\\) 且 \\(d \\mid a\\) 或 \\(b\\) ，
则 \\(d \\mid a\\) 且 \\(d \\mid b\\).

同余的概念十条性质及应用

概念：

       首先，同余是数论中一个非常重要的内容，我们信息学中的数论无非就是围绕着素数和同余等转来转去，没有扎实的数学基本功，信息奥赛这条路也绝对走不远。

同余的定义：有两整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m

记作：$a\equiv b \pmod{m}$

再简单点说，对于两个数a，b，a/m=x···r，b/m=y···r，这两个表达式的余数相同，就说a和b关于模m同余。例如，34/7=4···6，20/7=2···6，34和20除以7得到的余数相同，都是6，就是34和20关于模7同余。很简单吧。

下面要用到的：$(a,b)$表示a和b的最大公约数，类似的，$[a,b]$表示a和b的最小公倍数

同余的十条性质：

1. 若  $a\equiv b \pmod{m}$，则$b\equiv a \pmod{m}$
2. 若  $a\equiv b \pmod{m}$，$b\equiv c \pmod{m}$，则$a\equiv c \pmod{m}$
3. 若  $a_1\equiv b_1 \pmod{m}$，$a_2\equiv b_2 \pmod{m}$，则$a_1+a_2\equiv b_1+b_2 \pmod{m}$
4. 若  $a+b\equiv c \pmod{m}$，则$a\equiv c-b \pmod{m}$  
5. 若  $a\equiv b \pmod{m}$，并且$a=a_1d$，$b=b_1d$，$(d,m)$=1，则$a_1\equiv b_1 \pmod{m}$  证明一下？可知$a-b\equiv 0 \pmod{m}$，$a_1d-b_1d\equiv 0 \pmod{m}$，则$d(a_1d-b_1)\equiv 0 \pmod{m}$，$m\mid a_1d-b_1$_，所以$m\mid a_1d-b_1$
   
6. 若  $a\equiv b \pmod{m}$，k>0，则$ak\equiv bk \pmod{mk}$
7. 若  $a\equiv b \pmod{m}$，d是a，b及m的任意整数，$ \frac{a}{b}\equiv \frac{b}{d} \pmod{\frac{m}{d}} $
8. 若  $a\equiv b \pmod{mi}$，i=1,2···k，则$a\equiv b \pmod{[m_1,m_2\ldots m_k]}$
9. 若  $a\equiv b \pmod{m}$，d$\mid$m，d>0，则$a\equiv b \pmod{d}$
   
10. 若  $a\equiv b \pmod{m}$，则$(a,m)=(b,m)$，若d$\mid$m及a,b二数之一，则d$\mid$a,b另一个