[基础数论]模的逆

Posted 2023-05-20 wonder-land

前言

在学习本节内容前，请确保已完成了同余方程的学习。

模的逆

引入

很多题目都会要求我们对答案取模。

如果运算中只有加法、乘法当然没问题。

但是如果有除法就完蛋了。

所以我们考虑将除法转换成乘法，

即对于 \\(a / b\\) ，我们要找到一个数 \\(x\\) 使得 \\(ax\\) 在模 \\(m\\) 意义下， \\(x\\) 等同于 \\(\\frac1b\\) ，我们把 \\(x\\) 写作 \\(b^-1\\) 。

定义

• 给定整数 \\(a\\) ，且满足 \\((a,m)=1\\) ，称 \\(ax \\equiv 1 \\pmod m\\) 的一个解为 \\(a\\) 模 \\(m\\) 的逆。

注： \\(x\\) 既是 \\(a^-1\\) ，则满足 \\(ax \\equiv 1 \\pmod m\\).

扩欧求逆

在同余方程的学习中，我们清楚同余方程 \\(ax \\equiv 1 \\pmod m\\) 等价于 \\(ax+my = 1\\) .

运用上不定方程的知识求解即可。

费马小定理求逆

• 设 \\(p\\) 是一个质数， \\(a\\) 是一个正整数且 \\(p \\nmid a\\) ，则 \\(a^p-1 \\equiv 1 \\pmod p\\)。

我们将等式两边同除一个 \\(a\\) ，得到 \\(a^p-2 \\equiv a^-1 \\pmod p\\).

我们就得到： \\(a^p-2\\) 就是 \\(a\\) 在模 \\(p\\) 意义下的逆元。

一般用快速幂去求即可。

注：用费马小定理求逆，必须满足前提条件。

费马小定理证明：

现考虑 \\(p-1\\) 个整数： \\(a,2a,3a,…,(p-1)a\\).

因为 \\(p\\) 为质数，且 \\(p \\nmid a\\) ，这 \\(p-1\\) 个整数都不能被 \\(p\\) 整除。

然后我们考虑反证这些数模 \\(p\\) 不同余。

设 \\(ja \\equiv ka \\pmod p\\) ，其中 \\(1 \\le j < k \\le p-1\\) .

根据不定方程笔记的定理5推论，由于 \\((a,p)=1\\) ，得到 \\(j \\equiv k \\pmod p\\).

因为 \\(p\\) 是质数， \\(j,k\\) 又满足 \\(1 \\le j < k \\le p-1\\) ，显然不成立。

故得证。

综上，我们可以得到 \\(a,2a,…,(p-1)a\\) 满足模 \\(p\\) 有 \\(1,2,…,p-1\\).

我们将其全部乘起来，得到： \\(a * 2a * 3a * … * (p-1)a \\equiv 1 * 2 * 3 * … * (p-1) \\pmod p\\) .

推得：\\(a^p-1*(p-1)! \\equiv (p-1)! \\pmod p\\) .

再一次根据不定方程笔记的定理5推论，因为 \\(((p-1)!,p)=1\\) ，得到 \\(a^p-1 \\equiv 1 \\pmod p\\).

证毕。

线性递推求逆

• 在满足 \\(p\\) 是质数，\\(n < p\\) 时，线性递推求 \\(1\\) 至 \\(n\\) 在模 \\(p\\) 意义下的逆元。

• \\(1^-1 = 1\\) ，\\(i^-1 = (p - p/i) (p \\% i)^-1 \\pmod p\\)

证明：

由带余除法得： \\(p = ki + r\\) ，其中 \\(0 \\le r < i\\) ， 故 \\(ki + r \\equiv 0 \\pmod p\\).

两边同乘 \\(i^-1r^-1\\) 得到： \\(kr^-1 + i^-1 \\equiv 0 \\pmod p\\).

移项得： \\(i^-1 \\equiv -kr^-1 \\pmod p\\) .

即： \\(i^-1 \\equiv -(p/i)r^-1 \\pmod p\\).

如果要避免负数，因为 \\(pr^-1 \\equiv 0 \\pmod p\\).

所以 \\(pr^-1 + (-p/i)r^-1 \\equiv (-p/i)r^-1 \\pmod p\\).

即： \\((p-p/i)r^-1 \\equiv (-p/i)r^-1 \\pmod p\\).

代回原式即为 \\(i^-1 \\equiv (p-p/i)r^-1 \\pmod p\\).

即 \\(i^-1 \\equiv (p - p/i)(p \\% i)^-1\\).

证毕。

怎么求19模29的逆

设乘法逆元为x。
7x-1mod19=0。
x=11。
求模逆运算

求模逆的⽅法有好⼏种，这⾥介绍⼀个扩展欧⼏⾥德算法：

求A关于N的逆元B，即要找出整数B，使A * B mod N = 1 。如：17关于3120的模逆元素求解。

⾸先对余数进⾏辗转相除。

3120 = 17 × 183 + 9

17 = 9 × 1 + 8

9 = 8 * 1 + 1

8 = 1 * 8 + 0

对辗转相除的商数进⾏逆向排序，记作⾏I。（余数为0的⾏除外）

对于⾏II，第⼀个数为1，第⼆个数为上⼀⾏第⼀个数，从第三个数开始，第n个数x = a（左）*b（上）+c（左左）若⾏I的个数为奇数个，则结果为 n -final，偶数则为final

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⾸先对余数进⾏辗转相除。

3120 = 17 × 183 + 9

17 = 9 × 1 + 8

9 = 8 * 1 + 1

8 = 1 * 8 + 0

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对辗转相除的商数进⾏逆向排序，记作⾏I。（余数为0的⾏除外）

对于⾏II，第⼀个数为1，第⼆个数为上⼀⾏第⼀个数，从第三个数开始，第n个数x = a（左）*b（上）+c（左左）若⾏I的个数为奇数个，则结果为 n -final，偶数则为final 参考技术A 设乘法逆元为x。
7x-1mod19=0。
x=11。
求模逆运算

求模逆的⽅法有好⼏种，这⾥介绍⼀个扩展欧⼏⾥德算法：

求A关于N的逆元B，即要找出整数B，使A * B mod N = 1 。如：17关于3120的模逆元素求解。

⾸先对余数进⾏辗转相除。

3120 = 17 × 183 + 9

17 = 9 × 1 + 8

9 = 8 * 1 + 1

8 = 1 * 8 + 0

对辗转相除的商数进⾏逆向排序，记作⾏I。（余数为0的⾏除外）

对于⾏II，第⼀个数为1，第⼆个数为上⼀⾏第⼀个数，从第三个数开始，第n个数x = a（左）*b（上）+c（左左）若⾏I的个数为奇数个，则结果为 n -final，偶数则为final

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求模逆运算——精选推荐
求模逆运算

求模逆的⽅法有好⼏种，这⾥介绍⼀个扩展欧⼏⾥德算法：

求A关于N的逆元B，即要找出整数B，使A * B mod N = 1 。如：17关于3120的模逆元素求解。

⾸先对余数进⾏辗转相除。

3120 = 17 × 183 + 9

17 = 9 × 1 + 8

9 = 8 * 1 + 1

8 = 1 * 8 + 0 参考技术B 求逆元的四种方法：

费马小定理
欧拉定理求逆元 （相当于费马小定理的扩展）
扩展欧几里德
递推打表
1、费马小定理 （p为素数 参考技术C 设乘法逆元为x。7x-1mod19=0。x=11。 参考技术D 设乘法逆元为x;
7x-1mod19=0;
x=11