[基础数论]同余方程笔记

Posted 2023-05-20 wonder-land

前言

在学习本节内容前，请确保已完成了二元不定方程的学习。

同余方程

有无解的判别

对于一个方程形如：

\\[ax \\equiv b \\pmod m \\]

其中

\\[a,b \\in \\mathbb Z , m \\in \\mathbb Z^+ \\]

并令

\\[d=(a,m) \\]

---

若
\\(d \\nmid b\\) ，

则方程
\\(ax \\equiv b \\pmod m\\)
无解。

---

若
\\(d \\mid b\\) ，

则方程
\\(ax \\equiv b \\pmod m\\)
恰有 \\(d\\) 个模 \\(m\\) 不同余的解。

---

证明

线性同余方程 \\(ax \\equiv b \\pmod m\\) 等价于二元不定方程 \\(ax - my = b\\).

整数 \\(x\\) 是方程的解，当且仅当存在整数 \\(y\\) 使得 \\(ax - my = b\\).

由上篇二元一次不定方程的学习，我们可知：若 \\(d \\nmid b\\) ，则无解；而 \\(d \\mid b\\) 时，则有无穷多解。

且方程 \\(ax - my = b\\) 的解： \\(x=x_0 + (m/d)t , y = y_0 + (a/d)t\\)。

为确定有多少不同余的解，我们来找一下当

\\[x_1 = x_0 + (m/d)t_1 \\]

和

\\[x_2 = x_0 + (m/d)t_2 \\]

这两个解同余的条件。

---

\\[x_1 \\equiv x_2 \\pmod m \\]

\\[x_0 + (m/d)t_1 \\equiv x_0 + (m/d)t_2 \\pmod m \\]

\\[(m/d)t_1 \\equiv (m/d)t_2 \\pmod m \\]

由二元一次不定方程的定理5可得：

\\[t_1 \\equiv t_2 \\pmod d \\]

这表明只要我们将 \\(t\\) 取 \\(0,1,2,…,d-1\\) , 就可以得到不同余的全部解（共 \\(d\\) 个模 \\(m\\) 不同余的解）。

• 推论 ：

若

\\[a,b \\in \\mathbb Z,m \\in \\mathbb Z^+,(a,m)=1 \\]

则对于同余方程

\\[ax \\equiv b \\pmod m \\]

恰有 \\(1\\) 个模 \\(m\\) 不同余的解。

《夜深人静写算法》数论篇 - (11) 线性同余

前言

    上个章节简单介绍了 扩展欧几里得定理，那么这个章节我们就来简述一下如何通过这个定理求解线性同余方程。

一、线性同余方程

    线性同余方程（也叫模线性方程）是最基本的同余方程，即 $$ax$$