0x3f的最大流笔记
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了0x3f的最大流笔记相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
/* 网络流·总结·题单 ################################################################################
最大流等于最小割的证明 https://seineo.github.io/%E5%9B%BE%E8%AE%BA%EF%BC%9A%E6%9C%80%E5%A4%A7%E6%B5%81%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%89%B2%E8%AF%A6%E8%A7%A3.html
todo 网络流建模方式总结
https://www.cnblogs.com/victorique/p/8560656.html
https://blog.bill.moe/network-flow-models/
NOI 一轮复习 I：二分图网络流 https://www.luogu.com.cn/blog/ix-35/noi-yi-lun-fu-xi-i-er-fen-tu-wang-lao-liu
2016 国家集训队论文《网络流的一些建模方法》姜志豪 https://github.com/enkerewpo/OI-Public-Library/blob/master/IOI%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E5%9B%BD%E5%AE%B6%E5%80%99%E9%80%89%E9%98%9F%E8%AE%BA%E6%96%87/%E5%9B%BD%E5%AE%B6%E9%9B%86%E8%AE%AD%E9%98%9F2016%E8%AE%BA%E6%96%87%E9%9B%86.pdf
todo 网络流 24 题 https://loj.ac/p?tagIds=30 https://www.luogu.com.cn/problem/list?tag=332
线性规划与网络流 24 题 解题报告 https://byvoid.com/zhs/blog/lpf24-solution/
todo 题单 https://www.zybuluo.com/xzyxzy/note/992041
网络流从入门到入土 #1 https://www.luogu.com.cn/training/12097#problems
网络流从入门到入土 #2 https://www.luogu.com.cn/training/12098#problems
网络流从入门到入土 #3 https://www.luogu.com.cn/training/12099#problems
网络流建模经典题 https://www.luogu.com.cn/training/1230#problems
网络流经典题目 https://www.luogu.com.cn/training/3144#problems
Max-Flow in almost linear time https://codeforces.com/blog/entry/100510
CF Tag https://codeforces.com/problemset?order=BY_RATING_ASC&tags=flows
*/
/* 最大流·建模·转换 ################################################################################
可视化 https://visualgo.net/zh/maxflow
https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_flow
建模·转换
将点拆为入点和出点（v 和 v+n），即可把点上的约束变成边上的约束
https://www.luogu.com.cn/problem/P2891 http://poj.org/problem?id=3281
【网络流 24 题】最长不降子序列 https://loj.ac/p/6005 https://www.luogu.com.cn/problem/P2766
注意这题用到了操纵超级源点的技巧：容量限制与解除容量限制
NWERC07 B https://codeforces.com/gym/100723 http://poj.org/problem?id=3498 UVa12125 https://onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=243&page=show_problem&problem=3277
网格模型 https://codeforces.com/problemset/problem/1360/G
https://codeforces.com/problemset/problem/546/E
转换 https://www.acwing.com/problem/content/2239/ http://poj.org/problem?id=1149
转换 https://codeforces.com/problemset/problem/653/D
todo 转换 https://atcoder.jp/contests/arc085/tasks/arc085_c
顶点上有容量
将顶点拆成两个（入顶点 x 和出顶点 y），入点向 x 连边，y 向出点连边，x 向 y 连边，容量为顶点的容量
无向图
视作两条容量均为 cap 的有向边（具体实现见下面代码中 addEdge 的注释）
多源汇最大流
建立超级源点 S 和超级汇点 T，S 向所有源点连边，所有汇点向 T 连边，每条边的容量为 inf 或对应源汇的容量限制
https://www.acwing.com/problem/content/2236/
只能经过这条边一次 ⇔ 容量为 1
http://poj.org/problem?id=2455 https://www.acwing.com/problem/content/2279/
上下界可行流·总结
https://oi-wiki.org/graph/flow/bound/
https://www.acwing.com/solution/content/17067/
https://zhuanlan.zhihu.com/p/324507636
todo 题单 https://www.luogu.com.cn/training/8462
无源汇上下界可行流（循环流）
假设存在一个流量守恒的解 f，通过将每条边的流量减去 low，得到一个新图的流，但其不一定满足流量守恒
对于每个顶点 v，记 d(v) = ∑lowIn(v) - ∑lowOut(v)
- 若 d(v) > 0，说明流入减去的更多，则需将 v 的流入量增加 d(v)，这可以通过新建超级源点 S，并增加 S->v，容量为 d(v) 的边做到
- 若 d(v) < 0，说明流出减去的更多，则需将 v 的流出量增加 d(v)，这可以通过新建超级汇点 T，并增加 v->T，容量为 -d(v) 的边做到
跑从 S 到 T 的最大流，若满流（即最大流等于从 S 出发的容量之和），则说明可以让新图的流量守恒，从而说明原图存在可行流 f，其每条边的流量为 low 加上新图中每条边的流量；若不满流则无解
模板题 https://loj.ac/p/115 https://www.acwing.com/problem/content/2190/
有源汇上下界可行流
从汇点向源点连一条容量为 inf 的边，即转换成了无源汇上下界可行流
有源汇上下界最大流
1. 跑一遍有源汇上下界可行流，若有解，记此时源点到汇点的流量为 f1（通过汇点向源点的反向边的流量得到）
2. 删去汇点到源点的边（或将其容量置为 0，具体实现时可以将汇点->源点边最后加入，或者使用指针记录该边及其反向边）
3. 在残余网络上继续增广，记额外的最大流为 f2，那么答案即为 f1+f2
模板题 https://loj.ac/p/116 https://www.luogu.com.cn/problem/P5192
有源汇上下界最小流
将上面第 3 步改成退流，即减去残余网络上从汇点到源点的最大流
模板题 https://loj.ac/p/117 https://www.luogu.com.cn/problem/P4843
分层图
注意：可以在原图的基础上添加边/增加容量，然后继续寻找增广路增广
【网络流 24 题】星际转移 https://loj.ac/p/6015 https://www.luogu.com.cn/problem/P2754
关键边
关键边 v-w 需满足，在跑完最大流后：
1. 这条边的流量等于其容量
2. 在残余网络上，从源点可以到达 v，从 w 可以到达汇点（即从汇点顺着反向边可以到达 w）
http://poj.org/problem?id=3204 https://www.acwing.com/problem/content/2238/
具体实现见下面代码中的 EXTRA
*/
/* 最小割·建模·转换 ################################################################################
https://en.wikipedia.org/wiki/Max-flow_min-cut_theorem
最小割模型汇总 https://blog.csdn.net/qq_35649707/article/details/77482691
下面的 topic 参考胡伯涛《最小割模型在信息学竞赛中的应用》（PDF 见 https://github.com/EndlessCheng/cp-pdf）
求出最大流后，从源点出发在残余网络上 DFS，标记所有能够到达的点。遍历原边集 edges，若其中一端有标记，另一端没有标记，则这条边为最小割上的边
常用技巧：用容量为 inf 的边来防止割断
建模·转换
https://www.acwing.com/problem/content/2282/
平均边权最小 https://www.acwing.com/problem/content/2281/
点连通度 SEERC04 F https://codeforces.com/gym/101461 http://poj.org/problem?id=1966 UVa1660 https://onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=825&page=show_problem&problem=4535
https://en.wikipedia.org/wiki/Connectivity_(graph_theory)
https://en.wikipedia.org/wiki/Menger%27s_theorem
LCP38/21春·战队赛F https://leetcode-cn.com/problems/7rLGCR/
最大权闭合图 Maximum Weight Closure of a Graph
https://en.wikipedia.org/wiki/Closure_problem
源点向所有正权点连边，容量为相应点权
所有负权点向汇点连边，容量为相应点权的相反数
原图边的容量为 inf（从而保证不会在最小割中）
最后用正权点总和减去源点到汇点的最小割即为答案
以「最大获利」这题来解释，割掉源点到正权点的边，意味着放弃对应用户的收益；割掉负权点到汇点的边，意味着建立对应基站
NOI06 最大获利 https://www.luogu.com.cn/problem/P4174
【网络流 24 题】太空飞行计划 https://loj.ac/p/6001 https://www.luogu.com.cn/problem/P2762
最大密度子图 Maximum Density Subgraph
https://en.wikipedia.org/wiki/Dense_subgraph
参考 https://www.luogu.com.cn/problem/solution/UVA1389
二分上下界：最小密度为 1/n，最大密度为 m
二分精度：任意两个密度不同的子图，其密度差 >= 1/n^2
todo NEERC06 H https://codeforces.com/gym/100287 https://codeforces.com/gym/100532 http://poj.org/problem?id=3155 UVa1389 https://onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=446&page=show_problem&problem=4135
二分图最小点权覆盖集 Minimum Weight Vertex Covering Set (MinWVCS) in a Bipartite Graph
二分图最大点权独立集 Maximum Weight Vertex Independent Set (MaxWVIS) in a Bipartite Graph
建立一个源 s，向 X 部每个点连边；建立一个汇 t，从 Y 部每个点向汇 t 连边，把二分图中的边看成是有向的，
则任意一条从 s 到 t 的路径，一定具有 s->v->w->t 的形式（v∈X, w∈Y）。
割的性质是不存在一条从 s 到 t 的路径。故路径上的三条边 s-v, v-w, w-t 中至少有一条边在割中。
若人为地令 v-w 不可能在最小割中，即令其容量为正无限，
可将条件简化为 s-v, w-t 中至少有一条边在最小割中，这正好与点覆盖集限制条件的形式相符（边的两端点中至少一个在覆盖集内），
而目标是最小化点权之和，这恰好也是最小割的优化目标。
对于最大点权独立集，其等价于点权之和减去最小点权覆盖集。
【网络流 24 题】骑士共存 https://loj.ac/p/6226 https://www.luogu.com.cn/problem/P3355
todo https://codeforces.com/contest/808/problem/F
NEERC03 D https://codeforces.com/gym/100725 https://codeforces.com/gym/101651 http://poj.org/problem?id=2125
黑白染色转化成二分图 https://www.acwing.com/problem/content/2328/
最小割的可行边和必须边（所有最小割集的并集和交集）
跑最大流，然后求整个残余网络的 SCC，则有：
- 可行边：两端不在一个 SCC 内，即不存在另一条从 v 到 w 的路径
- 必须边：一端在 S 的 SCC 内,另一端在 T 的 SCC 内
AHOI09 https://www.luogu.com.cn/problem/P4126
*/
/* 费用流·建模·转换 ################################################################################
https://en.wikipedia.org/wiki/Minimum-cost_flow_problem MCFP
https://en.wikipedia.org/wiki/Assignment_problem
https://en.wikipedia.org/wiki/Network_simplex_algorithm
NOTE: 对于修改容量的情况，由于 EK 是基于最短路的贪心算法，不能像最大流那样直接在残余网络上继续跑，必须重新建图重新跑 EK
todo https://codeforces.com/problemset/problem/362/E
建模·转换
从源点连容量为 1 费用为 0 的边到集合 A 中各点
从集合 B 中各点连容量为 1 费用为 0 的边到汇点
集合 A 和 B 之间连边，容量为 inf，费用为 F(Ai,Bj)，F 根据题意
这样跑 MCMF 得到的结果是匹配全部 A（或 B）的最小花费
LC2172 https://leetcode-cn.com/problems/maximum-and-sum-of-array/
https://codeforces.com/problemset/problem/1437/C
【网络流 24 题】运输问题 https://loj.ac/p/6011 https://www.luogu.com.cn/problem/P4015
【网络流 24 题】数字梯形 https://loj.ac/p/6010 https://www.luogu.com.cn/problem/P4013
【网络流 24 题】深海机器人 https://loj.ac/p/6224 https://www.luogu.com.cn/problem/P4012
k 取方格数 https://www.luogu.com.cn/problem/P2045 http://poj.org/problem?id=3422
关键技巧：拆点时，从入点向出点连两条边，第一条边容量为 1，费用为点权，第二条边容量为 k-1，费用为 0
这表示第一次经过该点时，可以把数取走，之后再经过时就不再计算
【网络流 24 题】餐巾计划 https://loj.ac/p/6008 https://www.luogu.com.cn/problem/P1251
最大费用
将每条边的费用反向，答案即为 -MCMF
无源汇上下界最小费用可行流
建图和上面的「无源汇上下界可行流」一样
NOI08 志愿者招募 https://www.luogu.com.cn/problem/P3980（也可以用线性规划做）
- 由于没有上界，建图的时候可以不用减去下界
- 把每天的人数要求看成是边的流量下界（从 i 天向 i+1 天连边）
- 由于要满足流量守恒，对于每个人 i，需要从结束日期向开始日期连边，容量为 inf，费用为 ci。这相当于每个人在流网络的一单位的流量流过了一个环
- 代码实现 https://www.luogu.com.cn/record/56398769
AHOI14/JSOI14 支线剧情 https://www.luogu.com.cn/problem/P4043
-「看完所有剧情」可以转换成每条边的流量下界为 1，容量为 inf，费用为过剧情花费的时间
-「开始新的游戏」可以转换成每个点向点 1 连边，容量为 inf，费用为 0
- 代码实现 https://www.luogu.com.cn/record/56402617
流通问题 circulation problem
最小费用流通问题 minimum-cost-circulation problem
https://en.wikipedia.org/wiki/Circulation_problem
The circulation problem and its variants are a generalisation of network flow problems,
with the added constraint of a lower bound on edge flows,
and with flow conservation also being required for the source and sink (i.e. there are no special nodes).
《算法导论》思考题 29-5
todo https://codeforces.com/contest/1455/problem/E
https://codeforces.com/blog/entry/85186?#comment-728533
*/
// 最大流 Dinic\'s algorithm O(n^2 * m) 二分图上为 O(m√n)
// 如果容量是浮点数，下面代码中 > 0 的判断要改成 > eps
// https://en.wikipedia.org/wiki/Dinic%27s_algorithm
// https://oi-wiki.org/graph/flow/max-flow/#dinic
// https://cp-algorithms.com/graph/dinic.html
// 模板题 https://www.luogu.com.cn/problem/P3376 https://www.luogu.com.cn/problem/P2740
func (*graph) maxFlowDinic(in io.Reader, n, m, st, end int, min func(int, int) int) int
const inf int = 1e9 // 1e18
st--
end--
type neighbor struct to, rid, cap, eid int // rid 为反向边在邻接表中的下标
g := make([][]neighbor, n)
addEdge := func(from, to, cap, eid int)
g[from] = append(g[from], neighborto, len(g[to]), cap, eid)
g[to] = append(g[to], neighborfrom, len(g[from]) - 1, 0, -1) // 无向图上 0 换成 cap
for i := 0; i < m; i++
var v, w, cp int
Fscan(in, &v, &w, &cp)
v--
w--
addEdge(v, w, cp, i)
var d []int // 从源点 st 出发的距离
bfs := func() bool
d = make([]int, len(g))
d[st] = 1
q := []intst
for len(q) > 0
v := q[0]
q = q[1:]
for _, e := range g[v]
if w := e.to; e.cap > 0 && d[w] == 0
d[w] = d[v] + 1
q = append(q, w)
return d[end] > 0
// 寻找增广路
var iter []int // 当前弧，在其之前的边已经没有用了，避免对没有用的边进行多次检查
var dfs func(int, int) int
dfs = func(v int, minF int) int
if v == end
return minF
for ; iter[v] < len(g[v]); iter[v]++
e := &g[v][iter[v]]
if w := e.to; e.cap > 0 && d[w] > d[v]
if f := dfs(w, min(minF, e.cap)); f > 0
e.cap -= f
g[w][e.rid].cap += f
return f
return 0
dinic := func() (maxFlow int) // int64
for bfs()
iter = make([]int, len(g))
for
if f := dfs(st, inf); f > 0
maxFlow += f
else
break
return
maxFlow := dinic()
// EXTRA: 容量复原（不存原始容量的写法）
for _, es := range g
for i, e := range es
if e.eid >= 0 // 正向边
es[i].cap += g[e.to][e.rid].cap
g[e.to][e.rid].cap = 0
// EXTRA: 求流的分配方案（即反向边上的 cap）
// https://loj.ac/p/115 https://www.acwing.com/problem/content/2190/
ans := make([]int, m)
for _, es := range g // v
for _, e := range es
w, i := e.to, e.eid
if i >= 0 // 正向边
ans[i] = g[w][e.rid].cap
// EXTRA: 求关键边（扩容后可以增加最大流的边）的数量
// 关键边 v-w 需满足，在跑完最大流后：
// 1. 这条边的流量等于其容量
// 2. 在残余网络上，从源点可以到达 v，从 w 可以到达汇点（即从汇点顺着反向边可以到达 w）
// http://poj.org/problem?id=3204 https://www.acwing.com/problem/content/2238/
// 在残余网络上跑 DFS，看看哪些点能从源点和汇点访问到（从汇点出发的要判断反向边的流量）
vis1 := make([]bool, len(g))
var dfs1 func(int)
dfs1 = func(v int)
vis1[v] = true
for _, e := range g[v]
if w := e.to; e.cap > 0 && !vis1[w]
dfs1(w)
dfs1(st)
vis2 := make([]bool, len(g))
var dfs2 func(int)
dfs2 = func(v int)
vis2[v] = true
for _, e := range g[v]
if w := e.to; !vis2[w] && g[w][e.rid].cap > 0
dfs2(w)
dfs2(end)
ans := 0
for v, es := range g
if !vis1[v]
continue
for _, e := range es
// 原图的边，流量为 0（说明该边满流），且边的两端点能分别从源汇访问到
if e.eid >= 0 && e.cap == 0 && vis2[e.to]
ans++
return maxFlow
// ISAP, Improved Shortest Augmenting Path O(n^2 * m)
// https://oi-wiki.org/graph/flow/max-flow/#isap
// https://www.renfei.org/blog/isap.html
// 测试了一下性能和 Dinic 差不多
func (*graph) maxFlowISAP(in io.Reader, n, m, st, end int) int
st--
end--
type neighbor struct to, rid, cap int // rid 为反向边在邻接表中的下标
g := make([][]neighbor, n)
addEdge := func(from, to, cap int)
g[from] = append(g[from], neighborto, len(g[to]), cap)
g[to] = append(g[to], neighborfrom, len(g[from]) - 1, 0)
for i := 0; i < m; i++
var v, w, cp int
Fscan(in, &v, &w, &cp)
v--
w--
addEdge(v, w, cp)
// 计算从汇点 end 出发的距离
d := make([]int, n)
for i := range d
d[i] = -1
d[end] = 0
cd := make([]int, n+1) // 注意有 d[i] == n 的情况
q := []intend
for len(q) > 0
v := q[0]
q = q[1:]
cd[d[v]]++
for _, e := range g[v]
if w := e.to; d[w] < 0
d[w] = d[v] + 1
q = append(q, w)
if d[st] < 0
return -1
// 寻找增广路
const inf int = 1e9 // 1e18
maxFlow := 0 // int64
iter := make([]int, n)
type pair struct v, i int
fa := make([]pair, n)
o:
for v := st; d[st] < n;
if v == end
minF := inf
for v := end; v != st;
p := fa[v]
if c := g[p.v][p.i].cap; c < minF
minF = c
v = p.v
for v := end; v != st;
p := fa[v]
e := &g[p.v][p.i]
e.cap -= minF
g[v][e.rid].cap += minF
v = p.v
maxFlow += minF
v = st
for i := iter[v]; i < len(g[v]); i++
e := g[v][i]
if w := e.to; e.cap > 0 && d[w] < d[v]
fa[w] = pairv, i
iter[v] = i
v = w
continue o
if cd[d[v]] == 1
break // gap 优化
cd[d[v]]--
minD := n - 1
for _, e := range g[v]
if e.cap > 0 && d[e.to] < minD
minD = d[e.to]
d[v] = minD + 1
cd[d[v]]++
iter[v] = 0
if v != st
v = fa[v].v
return maxFlow
// 最高标号预流推进 (HLPP, High Level Preflow Push) O(n^2 * √m)
// 注：虽然在复杂度上比增广路方法进步很多，但是预流推进算法复杂度的上界是比较紧的，因此有时差距并不会很大
// https://en.wikipedia.org/wiki/Push%E2%80%93relabel_maximum_flow_algorithm
// https://en.wikipedia.org/wiki/Push%E2%80%93relabel_maximum_flow_algorithm#Highest_label_selection_rule
// https://oi-wiki.org/graph/flow/max-flow/#hlpp
// https://www.luogu.com.cn/blog/ONE-PIECE/jiu-ji-di-zui-tai-liu-suan-fa-isap-yu-hlpp
// 模板题 https://loj.ac/p/127 https://www.luogu.com.cn/problem/P4722
// todo deque 优化 + 全局重贴标签等 https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P4722
type hlppHeap struct
sort.IntSlice
d []int
func (h hlppHeap) Less(i, j int) bool return h.d[h.IntSlice[i]] > h.d[h.IntSlice[j]] // 处于堆中的节点的 d 值不会改变，所以可以直接比较
func (h *hlppHeap) Push(v any) h.IntSlice = append(h.IntSlice, v.(int))
func (h *hlppHeap) Pop() any a := h.IntSlice; v := a[len(a)-1]; h.IntSlice = a[:len(a)-1]; return v
func (h *hlppHeap) push(v int) heap.Push(h, v)
func (h *hlppHeap) pop() int return heap.Pop(h).(int)
func (*graph) maxFlowHLPP(in io.Reader, n, m, st, end int, min func(int, int) int) int
st--
end--
type neighbor struct to, rid, cap int // rid 为反向边在邻接表中的下标
g := make([][]neighbor, n)
addEdge := func(from, to, cap int)
g[from] = append(g[from], neighborto, len(g[to]), cap)
g[to] = append(g[to], neighborfrom, len(g[from]) - 1, 0)
for i := 0; i < m; i++
var v, w, cp int
Fscan(in, &v, &w, &cp)
v--
w--
addEdge(v, w, cp)
// 计算从汇点 end 出发的距离
d := make([]int, n)
for i := range d
d[i] = -1
d[end] = 0
cd := make([]int, 2*n)
_q := []intend
for len(_q) > 0
v := _q[0]
_q = _q[1:]
cd[d[v]]++
for _, e := range g[v]
if w := e.to; d[w] < 0
d[w] = d[v] + 1
_q = append(_q, w)
if d[st] < 0
return -1
d[st] = n
exFlow := make([]int, n)
q := hlppHeapd: d
inQ := make([]bool, n)
push := func(v, f int, e *neighbor)
w := e.to
e.cap -= f
g[w][e.rid].cap += f
exFlow[v] -= f
exFlow[w] += f
if w != st && w != end && !inQ[w]
q.push(w)
inQ[w] = true
// 将源点的所有边都满流地推送出去
for i := range g[st]
if e := &g[st][i]; e.cap > 0
push(st, e.cap, e)
for len(q.IntSlice) > 0
v := q.pop()
inQ[v] = false
o:
for
for i := range g[v]
if e := &g[v][i]; e.cap > 0 && d[e.to] < d[v]
push(v, min(e.cap, exFlow[v]), e)
if exFlow[v] == 0
break o
dv := d[v]
cd[dv]--
if cd[dv] == 0 // gap 优化
for i, h := range d
if i != st && i != end && dv < h && h <= n
d[i] = n + 1 // 超过 n，从而尽快将流量推回 st
// relabel
minD := int(1e9)
for _, e := range g[v]
if w := e.to; e.cap > 0 && d[w] < minD
minD = d[w]
d[v] = minD + 1
cd[d[v]]++
return exFlow[end]
// 无向图全局最小割
// Stoer-Wagner 算法 O(nm+n^2logn)
// https://en.wikipedia.org/wiki/Stoer%E2%80%93Wagner_algorithm
// https://algs4.cs.princeton.edu/code/edu/princeton/cs/algs4/GlobalMincut.java.html
// todo 模板题 https://www.luogu.com.cn/problem/P5632 http://poj.org/problem?id=2914
func (*graph) minimumCutStoerWagner(dist [][]int) int
panic("todo")
// 最小费用流 MCFP
// 最小费用最大流 MCMF（即满流时的费用）
// 将 Edmonds-Karp 中的 BFS 改成 SPFA O(fnm) 或 Dijkstra O(fmlogn)
// 要求初始网络中无负权圈
// 性能对比（洛谷 P3381，由于数据不强所以 SPFA 很快）：SPFA 1.05s(max 365ms) Dijkstra 1.91s(max 688ms)
// https://en.wikipedia.org/wiki/Edmonds%E2%80%93Karp_algorithm
// https://oi-wiki.org/graph/flow/min-cost/
// https://cp-algorithms.com/graph/min_cost_flow.html
// 最小费用流的不完全算法博物馆 https://www.luogu.com.cn/blog/Atalod/zui-xiao-fei-yong-liu-di-fou-wan-quan-suan-fa-bo-wu-guan
// 模板题 https://www.luogu.com.cn/problem/P3381
func (*graph) minCostFlowSPFA(in io.Reader, n, m, st, end int) (int, int64)
const inf int = 1e9 // 1e18
st--
end--
type neighbor struct to, rid, cap, cost, eid int // rid 为反向边在邻接表中的下标
g := make([][]neighbor, n)
addEdge := func(from, to, cap, cost, eid int)
g[from] = append(g[from], neighborto, len(g[to]), cap, cost, eid)
g[to] = append(g[to], neighborfrom, len(g[from]) - 1, 0, -cost, -1) // 无向图上 0 换成 cap
for i := 0; i < m; i++
var v, w, cp, cost int
Fscan(in, &v, &w, &cp, &cost)
v--
w--
addEdge(v, w, cp, cost, i)
dist := make([]int64, len(g))
type vi struct v, i int
fa := make([]vi, len(g))
spfa := func() bool
const _inf int64 = 1e18
for i := range dist
dist[i] = _inf
dist[st] = 0
inQ := make([]bool, len(g))
inQ[st] = true
q := []intst
for len(q) > 0
v := q[0]
q = q[1:]
inQ[v] = false
for i, e := range g[v]
if e.cap == 0
continue
w := e.to
if newD := dist[v] + int64(e.cost); newD < dist[w]
dist[w] = newD
fa[w] = viv, i
if !inQ[w]
q = append(q, w)
inQ[w] = true
return dist[end] < _inf
ek := func() (maxFlow int, minCost int64)
for spfa()
// 沿 st-end 的最短路尽量增广
minF := inf
for v := end; v != st;
p := fa[v]
if c := g[p.v][p.i].cap; c < minF
minF = c
v = p.v
for v := end; v != st;
p := fa[v]
e := &g[p.v][p.i]
e.cap -= minF
g[v][e.rid].cap += minF
v = p.v
maxFlow += minF
minCost += dist[end] * int64(minF)
return
return ek()
// 基于原始对偶方法 (primal-dual method)
// https://blog.xehoth.cc/DurationPlan-Primal-Dual/
func (*graph) minCostFlowDijkstra(in io.Reader, n, m, st, end, flowLimit int) int64
st--
end--
type neighbor struct to, rid, cap, cost int
g := make([][]neighbor, n)
addEdge := func(from, to, cap, cost int)
g[from] = append(g[from], neighborto, len(g[to]), cap, cost)
g[to] = append(g[to], neighborfrom, len(g[from]) - 1, 0, -cost)
for i := 0; i < m; i++
var v, w, cp, cost int
Fscan(in, &v, &w, &cp, &cost)
v--
w--
addEdge(v, w, cp, cost)
h := make([]int64, len(g)) // 顶点的势
dist := make([]int64, len(g))
type pair struct v, i int
fa := make([]pair, len(g))
dijkstra := func() bool
const _inf int64 = 1e18
for i := range dist
dist[i] = _inf
dist[st] = 0
q := dijkstraHeapst, 0
for len(q) > 0
p := q.pop()
v := p.v
if p.dis > dist[v]
continue
for i, e := range g[v]
if e.cap == 0
continue
w := e.to
if newD := dist[v] + int64(e.cost) + h[v] - h[w]; newD < dist[w]
dist[w] = newD
fa[w] = pairv, i
q.push(dijkstraPairw, newD)
return dist[end] < _inf
minCost := int64(0)
for flowLimit > 0 && dijkstra()
for i, d := range dist
h[i] += d
minF := flowLimit // inf
for v := end; v != st;
p := fa[v]
if c := g[p.v][p.i].cap; c < minF
minF = c
v = p.v
for v := end; v != st;
p := fa[v]
e := &g[p.v][p.i]
e.cap -= minF
g[v][e.rid].cap += minF
v = p.v
flowLimit -= minF // maxFlow += minF
minCost += h[end] * int64(minF) // 注意这里是 h 不是 dist
if flowLimit > 0
return -1
return minCost
// todo 基于 Capacity Scaling 的弱多项式复杂度最小费用流算法 https://ouuan.github.io/post/%E5%9F%BA%E4%BA%8E-capacity-scaling-%E7%9A%84%E5%BC%B1%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B4%B9%E7%94%A8%E6%B5%81%E7%AE%97%E6%B3%95/
// ZKW 费用流
// https://artofproblemsolving.com/community/c1368h1020435
最大流学习笔记
1 基本的Ford-Fulkerson方法。该方法的思想就是每次找到一个增广路$p$，然后将增广路 $p$对应的流加到之前的流上得到新的流，一直这样直到找不到增广路，这时候找到的流就是最大流。
算法的伪代码如下
假设容量是整数，最大流为$f^{*}$，那么while循环最多执行$|f^{*}|$次，因为每次至少使得流量增加1，每次找增光路的代价是$O(E)$，所以总的复杂度是$O(E|f^{*}|)$
2 Edmonds-Karp算法。Edmonds-Karp算法是对Ford-Fulkerson的改进，具体就是每次找增广路时找的是s到t的最短路（路径边长为1）。设$\delta_{f}(u,v)$表示残存网络中从$u$到$v$的最短路径
3 如果Edmonds-Karp算法运行在流网络G上，那么对所有的节点$v\in V-\{s,t\}$，残存网络$G_{f}$中的最短路径距离$\delta_{f}(s,v)$随着每次流量的递增而单调递增。
4 如果Edmonds-Karp算法运行在流网络G上，则该算法所执行的流量递增的总次数为$O(VE)$
5 Edmonds-Karp算法每次找最短路径的复杂度是$O(E)$，所以总的复杂度是$O(VE^{2})$
以下为证明
3的证明
假设对于某个节点$v\in V-\{s,t\}$，存在一个流量递增的操作使得源点到$v$的距离变小了。设$f$是最短路径减少之前的流量，对应的残存网络为$G_{f}$,$f^{‘}$是递增之后的流量,对应的残存网络为$G_{f^{‘}}$,设$v$为在所有最短距离减少的节点中,$\delta_{f^{‘}}(s,v)$最小的节点。有$\delta_{f^{‘}}(s,v)<\delta_{f}(s,v)$。
设$p=s\sim u\rightarrow v$为残存网络$G_{f^{‘}}$中从源节点s到$v$的一条最短路径，因此$(u,v)\in G_{f^{‘}}$,并且$\delta_{f^{‘}}(s,u)=\delta_{f^{‘}}(s,v)-1$
源节点到$u$的距离没有减少，所以$\delta_{f^{‘}}(s,u)\geq \delta_{f}(s,u)$
那么一定有$(u,v)\notin E_{f}$，否则：
$\delta_{f}(s,v)\leq \delta_{f}(s,u)+1$
$\leq \delta_{f^{‘}}(s,u)+1$
$=\delta_{f^{‘}}(s,v)$
这与$\delta_{f^{‘}}(s,v)<\delta_{f}(s,v)$矛盾。
那么现在$(u,v)\notin E_{f}$但是$(u,v)\in E_{f^{‘}}$,这一递增操作一定是增加了$v$到$u$的流量。又因为Edmonds-Karp算法总是沿着最短路径增加流，所以在$G_{f}$中从s到$u$的最短路径上的最后一条边是$(v,u)$，所以
$\delta_{f}(s,v)=\delta_{f}(s,u)-1$
$\leq \delta_{f^{‘}}(s,u)-1$
$=\delta_{f^{‘}}(s,v)-2$
这与$\delta_{f^{‘}}(s,v)<\delta_{f}(s,v)$矛盾。所以一开始的假设是不正确的。
4的证明
在$G_{f}$中，如果一条路径$p$的残存容量是该路径上的边$(u,v)$的残存容量，即$c_{f}(p)=c_{f}(u,v)$，那么我们称$(u,v)$为关键边。下面首先证明对于每条边来说，成为关建边的次数最多为$\frac{|V|}{2}$
当$(u,v)$第一次成为关键边时有$\delta_{f}(s,v)=\delta_{f}(s,u)+1$
之后边$(u,v)$将从残存网络中消失。到下一次$(u,v)$成为关键边时，一定在之前$(v,u)$出现在了路径$p$上，假设这一事件发生时$f^{‘}$是G的流，那么有
$\delta_{f^{‘}}(s,u)=\delta_{f^{‘}}(s,v)+1$
由于$\delta_{f}(s,v)\leq \delta_{f^{‘}}(s,v)$
那么有$\delta_{f^{‘}}(s,u)=\delta_{f^{‘}}(s,v)+1\geq \delta_{f}(s,v)+1=\delta_{f}(s,u)+2$，也就是到$u$的距离增加了至少2
初始时到$u$的距离至少为0，最后到$u$的距离最多为$|V|-2$（$(u,v)$出现在增广路径上意味着$u\neq t$,同时$u\neq s$）.所以在$(u,v)$第一次成为关建边后还最多能成为$\frac{|V|-2}{2}=\frac{|V|}{2}-1$次关建边，所以一共最多成为$\frac{|V|}{2}$次关建边。
一共有$|E|$条边，所以一共有最多$\frac{|V||E|}{2}$条关建边，每条增广路至少出现一条关建边，所以总次数为$O(VE)$
以上是关于0x3f的最大流笔记的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章