AT_abc_264_g

Posted 2023-05-17 xhr0817-blog

题目：AT_abc264_g

链接：洛谷，AT，vjudge

题意

• 有 \\(n\\) 个小写字母字符串 \\(T_i(1 \\le i \\le n)\\) 和数组 \\(P\\)，一个非空且只包含小写字母的字符串 \\(S\\) 的优美度为 \\(\\sum\\limits_i = 1^nT_i \\ 在 \\ S \\ 中的出现字数 \\times P_i\\)。问优美度最大值，可以无穷大输出 Infinity。

• 数据范围：\\(1 \\le n \\le 18278, T_i 长度不大于 3 且两两不同，-10^9 \\le P_i \\le 10^9\\)

思路

• 首先 \\(n\\) 给了一个奇怪的数值，我们经过一些尝试发现 \\(18278 = 26 + 26^2 + 26^3\\)，说明每个满足要求的 \\(T\\) 都可能在里面。

• 闲言少叙，下面进入正题。可以发现有状态 \\((i, j, k, w)\\) 表示当前后三个字符为 \\(i,j,k\\) 那么 \\((len, i, j, k, w)\\) 可以转移到 \\((len + 1, j, k, l, w + W(k) + W(jk) + W(ijk))\\)，\\(W(s)(s 为字符串)\\) 表示 \\(s\\) 在 \\(n\\) 个字符中是否出现过，出现就返回对应 \\(P_i\\)，否则返回 \\(0\\)。那么我们明显可以做 \\(DP\\)。

• 但是其实发现如果把 \\(W(k) + W(jk) + W(ijk)\\) 看做边权，我就是在做 bellman-ford，而我们发现如果答案为无穷大，就是出现了正环，而 bellman-ford 既然可以用最短路判负环，那当然可以用最长路判正环。

• 但是这个算法的时间复杂度是不被接受的，bellman-ford 的时间复杂度为 \\(O(点数 \\times 边数)\\)，在这里就是 \\(26^3 \\times 26^4\\)（\\(w\\) 是最优化属性），是会炸掉的。

• 那该怎么办呢。事实上我们发现 \\(26^5\\) 是可以过掉的，我们可以考虑一个新的状态：\\(f_i,j\\) 表示后两位为 \\(ij\\) 的最大答案。那么 \\(f_i,j\\) 可以转移到到 \\(f_j,k\\)，正好也可以把后三位得到，时间复杂度过掉了。

• 注意要把只有一个字符的字符串的答案处理好，\\(W()\\) 可以用进制得到。

• 时间复杂度：\\((26^5)\\)。

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