梯度下降算法 - Python实现

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了梯度下降算法 - Python实现相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

  • 算法介绍
    梯度下降算法是一种利用一次导数信息求取目标函数极值的方法,也是目前应用最为广泛的局部优化算法之一。其具有实现简单、容易迁移、收敛速度较快的特征。在求解过程中,从预设的种子点开始,根据梯度信息逐步迭代更新,使得种子点逐渐向目标函数的极小值点移动,最终到达目标函数的极小值点。
    注意,沿梯度正向移动,将获取目标函数局部极大值梯度上升算法);沿梯度反向移动,将获取目标函数局部极小值梯度下降算法)。
  • 迭代公式
    设向量$\\vec g_k$表示目标函数在种子点$\\vec x_k$处的梯度(即一次导数)。此时,根据梯度信息的指导,可以使得种子点更加接近该向量方向的极值点(注意,目标函数真实的极值点是全方向的)。
    求取极小值,沿梯度反方向移动(即梯度下降):
    \\begin{equation}\\label{eq_1}
    \\vec x_{k+1} = \\vec x_k - {\\lambda}_k \\vec s_k
    \\end{equation}
    求取极大值,沿梯度正方向移动(即梯度上升):
    \\begin{equation}\\label{eq_2}
    \\vec x_{k+1} = \\vec x_k + {\\lambda}_k \\vec s_k
    \\end{equation}
    其中,$\\vec s_k = \\frac{\\vec g_k}{\\left| \\vec g_k \\right|}$代表归一化梯度,${\\lambda}_k$代表种子点沿梯度方向移动的步长幅度参数
    很显然,对幅度参数${\\lambda}_k$的设置也属于算法的一部分。最常见的有两种方法:1)线性搜寻法;2)可调步长法
    线性搜寻法中,在种子点的梯度方向上搜寻到极值点附近的步长幅度参数${\\lambda}_k$,然后移动种子点至该方向的极值点处。继续计算种子点新的梯度方向,并在该方向上移动。直到种子点到达全方向的极值点处,迭代即可终止。
    可调步长法中,通常先将${\\lambda}_k$设为1。然后依据上面的迭代公式(式$\\ref{eq_1}$或式$\\ref{eq_2}$),预先计算下一步可能的$x_{k+1}$。如果$x_{k+1}$满足接近极值点的要求,则将种子点由$x_k$移至$x_{k+1}$,并增加${\\lambda}_k$值为原先的$1.2$倍;否则,不移动种子点,并将${\\lambda}_k$值减小为原先的$0.5$倍。如此反复迭代计算,逐步移动种子点并改变${\\lambda}_k$值至找到极值点为止。由于${\\lambda}_k$值随下一步的预计算情况逐步作出调整,因此笔者也将其称为动态调整技术
    从节省计算资源的角度考虑,以下笔者将采用动态调整技术完成对梯度下降算法的示例,仅供参考!
  • Python代码实现
     1 import matplotlib.pyplot as plt
     2 import numpy
     3 
     4 
     5 class GD(object):
     6 
     7     def __init__(self, seed=None, precision=1.E-6):
     8         self.seed = GD.get_seed(seed)                    # 梯度下降算法的种子点
     9         self.prec = precision                            # 梯度下降算法的计算精度
    10 
    11         self.path = list()                               # 记录种子点的路径及相应的目标函数值
    12         self.solve()                                     # 求解主体
    13         self.display()                                   # 数据可视化展示
    14 
    15     def solve(self):
    16         x_curr = self.seed
    17         val_curr = GD.func(*x_curr)
    18         self.path.append((x_curr, val_curr))
    19 
    20         omega = 1
    21         while omega > self.prec:
    22             x_delta = omega * GD.get_grad(*x_curr)
    23             x_next = x_curr - x_delta                    # 沿梯度反向迭代
    24             val_next = GD.func(*x_next)
    25             
    26             if numpy.abs(val_next - val_curr) < self.prec:
    27                 break
    28 
    29             if val_next < val_curr:
    30                 x_curr = x_next
    31                 val_curr = val_next
    32                 omega *= 1.2
    33                 self.path.append((x_curr, val_curr))
    34             else:
    35                 omega *= 0.5
    36 
    37     def display(self):
    38         print(\'Iteration steps: {}\'.format(len(self.path)))
    39         print(\'Seed: ({})\'.format(\', \'.join(str(item) for item in self.path[0][0])))
    40         print(\'Solution: ({})\'.format(\', \'.join(str(item) for item in self.path[-1][0])))
    41 
    42         fig = plt.figure(figsize=(10, 4))
    43 
    44         ax1 = plt.subplot(1, 2, 1)
    45         ax2 = plt.subplot(1, 2, 2)
    46 
    47         ax1.plot(numpy.array(range(len(self.path))) + 1, numpy.array(list(item[1] for item in self.path)), \'k.\')
    48         ax1.plot(1, self.path[0][1], \'go\', label=\'starting point\')
    49         ax1.plot(len(self.path), self.path[-1][1], \'r*\', label=\'solution\')
    50         ax1.set(xlabel=\'$iterCnt$\', ylabel=\'$iterVal$\')
    51         ax1.legend()
    52 
    53         x = numpy.linspace(-100, 100, 500)
    54         y = numpy.linspace(-100, 100, 500)
    55         x, y = numpy.meshgrid(x, y)
    56         z = GD.func(x, y)
    57         ax2.contour(x, y, z, levels=36)
    58 
    59         x2 = numpy.array(list(item[0][0] for item in self.path))
    60         y2 = numpy.array(list(item[0][1] for item in self.path))
    61         ax2.plot(x2, y2, \'k--\', linewidth=2)
    62         ax2.plot(x2[0], y2[0], \'go\', label=\'starting point\')
    63         ax2.plot(x2[-1], y2[-1], \'r*\', label=\'solution\')
    64 
    65         ax2.set(xlabel=\'$x$\', ylabel=\'$y$\')
    66         ax2.legend()
    67 
    68         fig.tight_layout()
    69         fig.savefig(\'test_plot.png\', dpi=500)
    70 
    71         plt.show()
    72         plt.close()
    73 
    74     # 内部种子生成函数
    75     @staticmethod
    76     def get_seed(seed):
    77         if seed is not None:
    78             return numpy.array(seed)
    79         return numpy.random.uniform(-100, 100, 2)
    80 
    81     # 目标函数
    82     @staticmethod
    83     def func(x, y):
    84         return 5 * x ** 2 + 2 * y ** 2 + 3 * x - 10 * y + 4
    85 
    86     # 目标函数的归一化梯度
    87     @staticmethod
    88     def get_grad(x, y):
    89         grad_ori = numpy.array([10 * x + 3, 4 * y - 10])
    90         length = numpy.linalg.norm(grad_ori)
    91         if length == 0:
    92             return numpy.zeros(2)
    93         return grad_ori / length
    94 
    95 
    96 if __name__ == \'__main__\':
    97     GD()
    View Code

    笔者所用示例函数为:
    \\begin{equation}
    f(x, y) = 5x^2 + 2y^2 + 3x - 10y + 4
    \\end{equation}

  • 结果展示

以上是关于梯度下降算法 - Python实现的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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