向大家请教苦恼多年的数学难题

Posted 2023-05-16

关于切比雪夫多项式的研究

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第四节 最佳平方逼近多项式�

一 内积与正交多项式�

定义1 设 ， 是〔a，b〕上的权函数，记

(1)�

称为函数 上带权 的内积。�

内积具有以下性质：�

① 对称性 ；�

② 齐次性 ；�

③ 可加性 ；�

④ 非负性 ，且 当且仅当 ， �x∈〔a，b〕。

定义2 如果内积 (2)则称函数f，g在〔a，b〕上带权 正交。

例如，三角函数系 是 上带权 ≡1的正交函数系。

如果〔a，b〕上的连续函数系 满足

（3）�

则称 是〔a，b〕上带权 的正交函数系。如果 为多项式系， 且 是最高项系数 的n次多项式，则称 为区间〔a，b〕上 带权 的正交多项式系，并称 是〔a，b〕上带权 的n次正交多项式。�

利用Gram-Schmidt 方法可以构造出〔a，b〕上的带权 的正交多项式系 如下：

（4）�

这样构造出的正交多项式系 具有以下性质：�

① 是最高项系数为1的n次多项式；�

② 任意n次多项式均可表示为前n+1个 的线性组合；�

③ 对于任意i≠j， ，并且 与任一次数小于n的多项式都正交；�

④ 在区间〔a，b〕 内有n个互异的实零点。�

首项系数为1的正交多项式系 有下面递推关系：�

(5)

其中�

(6)

二 常见的正交多项式系�

1. 勒让德多项式�

在区间〔-1，1〕上权函数为 ≡1的正交多项式

（7）�

称为勒让德(Legendre)正交多项式，显然 的首项 的系数 ，故�

表示首项系数为1的勒让德多项式。

�勒让德多项式 具有以下性质：�

① 正交性�

（8）�

② 递推关系�

（9）

�由 递推可得

③ 奇偶性

即：当n为奇数时， 为奇函数；当n为偶数时， 为偶函数。�

④ 在区间〔-1，1〕内有n个互异的实零点。�

2.切比雪夫多项式�在区间〔-1，1〕上权函数为 的正交多项式�

（10）

称为切比雪夫(Chebyshev)多项式。�

切比雪夫多项式具有以下性质：�

① 正交性

（11）�

② 递推关系�

（12）�

由 递推可得�

显然， 的首项系数 (n≥1)。�

③ 奇偶性 �当n为奇数时， 为奇函数；当n为偶数时， 为偶函数。即�
④ 在区间〔-1，1〕内有n个互异的实零点 。�

三 最佳平方逼近多项式�

定义3 设f(x)∈C〔a，b〕，若有一次数不超过n(n≤m)的多项式 ，使得

（1 3）�

称满足式（13）的 为f(x)在区间〔a，b〕上的n次最佳平方逼近多项式。该问题等价于求多元函数

的最小值。由多元函数求极值的必要条件，得�

即�

（14）�

式（14）是关于 的线 性方程组，用矩阵表示为

（15） �

式（14）或式（15）称为正规方程组或法方程组。

�可以 证明，方程组（15）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（14）中解出 ，从而可得最佳平方逼近多项式

�若〔a，b〕=〔0， 1〕， ≡1，则

�方程组（15）的系数矩阵为

称为希尔伯特（Hierbert） 矩阵。以后，不特别声明，均取 ≡1。�

例1 求 在区间〔0，1〕上的二次最佳平方逼近多项式。�

解

得正规方程组�

解得 ，所以

�

用 作基，求最佳平方逼近多项式，当n 较大时，系数矩阵是病态矩阵， 求正规方程组的解，舍入误差会很大，这时选正交多项式为基，就可避免这种情况。

一般地，设

同式（14）的推导完全类似， 可得 应满足的正规方程组为

其中

�若取 ，则式（16）就是式（13）；若取 为区间〔a，b〕上的正交多项式，则式（16）的系数矩阵为对角矩阵，解为

（17） �

例4 求 在区间〔-1,1〕上的三次最佳平方逼近多项式。

解 在式（16）中，取勒让德多项式系中 为基，则�

� 得�

所以

�对于有限区间〔a，b〕，做变量替换

于是 在区间〔-1,1〕上可用勒让德多项式为基求得最佳平方逼近多项式 ，从而得到在区间〔a,b〕的最佳平方逼近多项式 ，这与用（15）求得的是一致的，但用前者计算公式比较方便，不存在病态问题。 参考技术A 建议你查阅《多项式最佳逼近的实现〔计算数学丛书〕》一书中第30页内容，作者：沈燮昌，上海科学技术出版社，1984．02，也许会对你的研究带来极大的帮助！
另外，问题的完整叙述和解答可以参看：
《数学分析中的问题和定理（波利亚、舍贵 著）》第二卷中的第105页，答案在339页。
只是可惜的是上述都是利用高等数学知识解决的，不符合你的要求。
凭我的直觉，这道题目应该存在初等证明方法，因为题目的叙述完全可以理解成是一个初等数学问题！本回答被提问者采纳 参考技术B 向大家请教 苦恼多年 的数学难题:

关于切比雪夫多项式的研究 .
你要问什么?问切比雪夫多项式的性质吗?�
"建议你查阅《多项式最佳逼近的实现〔计算数学丛书〕》一书中第30页内容，作者：沈燮昌，上海科学技术出版社，1984．02，也许会对你的研究带来极大的帮助！
另外，问题的完整叙述和解答可以参看：
《数学分析中的问题和定理（波利亚、舍贵 著）》第二卷中的第105页，答案在339页。
只是可惜的是上述都是利用高等数学知识解决的，不符合你的要求。
凭我的直觉，这道题目应该存在初等证明方法，因为题目的叙述完全可以理解成是一个初等数学问题！"

以上的回答者：jysyxh - 试用期 一级 5-15 22:39,答得好. 参考技术C 用初等数学证估计会很烦，试试复变函数中的Cauchy不等式估计导数，应为既然是多项式，那么就全纯，性质应该会比较好，你可以试试看 参考技术D 这象是高中的序列问题,挺难的.没代笔,改天试试.

向越来越多的HTTPS致敬！

文｜Google Chrome 安全团队 Adrienne Porter Felt 和 Emily Schechter

安全性对于网络一直都至关重要，但多年来，HTTPS 的采用一直为网站迁移过程中所涉及的难题所阻碍。为了给所有用户打造一个更加安全的网络，我们 Google 和在线生态系统中的众多其他相关方合作，以更好地了解和解决这些难题，从而实现真正的变革。HTTPS 无所不在的网络并非遥远的未来。它当下正在发生，安全浏览已经成为 Chrome 用户的一项标准要求。

我们将向《透明度报告》中的“HTTPS 报告卡”新增一个部分，其中包括有关 HTTPS 使用率随着时间的推移而增加的情况的数据。半数以上加载的页面以及 Chrome 桌面用户所花费时间的三分之二都是通过 HTTPS 发生，我们期望这些指标继续保持强劲的上升轨迹。

▲ Chrome 中通过 HTTPS 加载的页面百分比

随着网络剩余部分向 HTTPS 的过渡，我们将继续努力，以确保向 HTTPS 的迁移可以轻而易举地完成，从而在提高安全性之外还带来业务收益。HTTPS 当前可以实现网络提供的最佳性能和益于提高网站转化率的强大功能，其中包括服务工作线程（提供离线支持）和网站推送通知等新功能，以及信用卡自动填充和 HTML5 geolocation API 等现有功能，现有功能太过强大，不能通过非安全 HTTP 使用。

在处理所有重要网站迁移工作时，网站站长应采取相应的措施来确保向 HTTPS 迁移时搜索排名过渡顺畅进行。

据我们所见，很多网站已成功完成过渡，且过渡对其搜索排名和流量的影响可以忽略不计。大型零售网站 Wayfair 的搜索引擎优化营销总监 Brian Wood 表示：“我们得以在不严重影响 Google 排名或 Google 自然搜索流量的情况下将 Wayfair.com 迁移至 HTTPS。我们很高兴地说，所有 Wayfair 网站现在都完全是 HTTPS。”

大型科技新闻网站 CNET 也有类似的体验：CNET 技术工程部副总裁 John Sherwood 表示，“我们上个月成功完成了 CNET.com 向 HTTPS 的迁移工作。自那时起，我们的 Google 排名或 Google 自然搜索流量没有发生任何变化。”

对于含有广告的网站，网站站长还应仔细监控大型网站迁移期间的广告效果和收入。过去三年来，通过 HTTPS 提供的 Google 广告流量已大幅增加。所有来自任何 Google 来源的广告都一律支持 HTTPS，包括 AdWords、AdSense 或 DoubleClick Ad Exchange；直接销售的广告，例如通过 DFP 广告管理系统销售的广告，仍需设计为支持 HTTPS。这意味着在迁移到 HTTPS 之后，源自 Google 的广告在网站上的显示不会有任何变化。

很多发布合作伙伴在成功完成 HTTPS 过渡后都切实见证了这一点。Washington Post 程序化广告总监 Jason Tollestrup 表示，“向 SSL 过渡对 AdX 收入没有任何实质性影响。”

随着向 HTTPS 迁移的流程变得越来越简单，我们将继续努力打造默认安全无虞的网络。不要犹豫，立即开始制定您的 HTTPS 迁移规划吧！

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