连续傅里叶变换性质FT

Posted 2023-05-16 lanlancky

常用函数

单位阶跃函数

事实上，我们并不怎么关心该函数在x=0  处的值，有的书将其定义为u(0)=1/2  。
其函数图像如下图所示：

单位冲激函数（δ函数/Dirac函数）

单位冲激函数可以看做

其中有：

并且有一个被人们称为“筛选性”的性质。顾名思义，对于任意函数f(t)，都能筛选出f(t0)的值。
对于δ函数，因为它的取值是0或者无穷，所以我们没办法画出它的图像。我们通常用一个向上的箭头来表示它：

用画图工具大致画了下 关于δ函数具体的形式，有很多种定义方法。例如定义为：

δ函数还有很多性质，如偶函数性和伸缩性质，这些性质结合上式就很容易理解了：

矩形函数（门函数）

矩形函数的形状类似一扇门，故有时候我们也称之为门函数。将非0区间的长度称为门宽。例如下面就是门宽为1的门函数（矩形函数）的定义：

其函数图像如下图所示：

门宽为任意正数 的定义如下：

其函数图像如下图所示：

三角波函数

顾名思义，三角波函数就是一个三角形。

 

其函数图像如下图所示：

半底宽为任意正数 的定义如下：

其函数图像如下图所示：

sinc函数

sinc函数在信号处理中十分常用，因为它的傅里叶变换是门函数。在数学系的教材中，它的定义通常乘以了一个系数π。而在我们工科，通常不乘以π。本文采用的是工科的定义，具体定义如下：

注意到这个函数在x=0处没有定义，但是该点恰好是一个可去间断点，因此将其极限值1作为该点函数值的定义。即sinc(0)=1 。
其函数图像如下图所示：

共轭函数

我们用x*(t)  代表函数x(t)  的共轭函数。

卷积函数

我们用x1(t)*x2(t)  代表x1(t)和x2(t) 的卷积，即：

傅里叶变换相关符号的定义

数学系通常用符号i作为虚数单位，而我们工科一般用作为虚数单位，本文中所有出现虚数单位的时候都采用j这一符号。并且我们有时候利用关系w=2πf消去逆变换的系数2π。

我们将自变量为角频率ω的F(w)  函数称为f(t) 的傅里叶变换函数，我们将自变量为频率f的S(f)  函数称为s(t)  的频谱函数。
将傅里叶变换过程用花体符号表示：

 

将傅里叶逆变换过程用花体符号表示：

 

比较明显的是：若s(t)与f(t)相同，则有：

考虑到花体符号表示对变换关系体现得不是那么显明，因此用下式来表现变换关系会相对更加显明：

注意：本文中用到a↔b符号时，均指a的傅里叶变换为b。

频域为ω的傅里叶变换性质大全

我们比较常用的是频域为ω的傅里叶变换，不过这样的变换性质会大量出现常数项(2π)。

线性性质

若，a、b为常数，则有：

 

共轭性质

简单地说，实偶对实偶，实奇对虚奇。即：实偶函数的傅里叶变换是实偶函数，实奇函数的傅里叶变换是虚奇函数。

时域平移性

若,则有：

频域平移性

若 ,则有：

尺度变换性

若 ，对于大于0的常数a，有：

对偶性

若 ，有：

 所以，将变量名对换即得证。

时域微分性

若 ，有：

频域微分性

若 ，有：

时域积分性

若 ，有：

时域卷积

若，有：

频域卷积

若，有：

时域初值

若，有：

 将t=0 代入傅里叶变换的定义：     

 

频域初值

若 ，有：

 

帕塞瓦尔等式

若实函数，有：

频域为f的傅里叶变换性质大全

对于功率谱的估计，我们有时使用频域为f的傅里叶变换，这样的变换中，一些地方的常数项(2π)会被消掉，因此结果比较简明。

4.1、线性性质

若、 ，a、b为常数，则有：

4.2、共轭性质

简单地说，实偶对实偶，实奇对虚奇。即：实偶函数的傅里叶变换是实偶函数，实奇函数的傅里叶变换是虚奇函数。
4.3、时域平移性

若 则有：

4.4、频域平移性

若 则有：

4.5、尺度变换性

若 ，对于大于0的常数a，有：

4.6、对偶性

若 ，有：

4.7、时域微分性

若 ，有：

4.8、频域微分性

若 ，有：

4.9、时域积分性

若 ，有：

4.10、时域卷积

若 、 ，有：

4.11、频域卷积

若 、 ，有：

4.12、时域初值

若 ，有：

4.13、频域初值

若 ，有：

4.14、帕塞瓦尔等式

若实函数 ，有：

傅里叶对大全

x(t)<->X(f)的变换对根据对偶性很好记。

 

数字信号处理序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换与反变换 | 序列绝对可和 与 存在傅里叶变换之间的关系 | 序列傅里叶变换性质 )

文章目录

• 一、序列傅里叶变换与反变换
• 二、序列绝对可和 与 存在傅里叶变换之间的关系
• 三、序列傅里叶变换性质

一、序列傅里叶变换与反变换

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在上一篇博客 【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换定义详细分析 | 证明单位复指数序列正交完备性 | 序列存在傅里叶变换的性质 | 序列绝对可和 → 序列傅里叶变换一定存在 ) 的介绍了如下内容 :

傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;

$$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega$$

二、序列绝对可和 与 存在傅里叶变换之间的关系

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序列绝对可和 与 存在傅里叶变换 :

• 如果 " $x(n)$序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;
• 如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 " $x(n)$序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入 广义函数 $\delta (\omega )$ 后 , 其 傅里叶变换也存在 ;

序列绝对可和可以表示成 :

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|x(n)|<\infty$$

三、序列傅里叶变换性质

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$x(n)$ 的傅里叶变换是 $X(e^{j\omega })$ , 有如下性质 :

• 连续性 : 序列 $x(n)$ 是离散的 , 其 傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 对 $\omega$ 来说是连续的 ;

• 周期性 : $X(e^{j\omega })$ 是周期的 , 其周期是 $2\pi$ , 其主值区间为 $[-\pi ,\pi ]$ ;

$$X(e^{j\omega })=X(e^{j(\omega +2M\pi )})$$

其中 $M$ 是整数 ; $e^{-j\omega n}$ , 将 $\omega =2\pi M$ 带入即可得到其是以 $2\pi$ 为周期的 ;

• 周期独立性 : 在 相同周期 内的 各个频率 彼此独立 , 频率列举 :
  • 数字角频率域 , 即 $\omega$ 域
  • 直流分量角频率 在 $\omega =2M\pi$ , $\pi$ 的偶数被上 ;
  • 信号 最高角频率 在 $\omega =(2M+1)\pi$ , $\pi$ 的奇数倍 上 ;

数字角频率 $\omega$ , 与 模拟角频率 $\Omega$ 之间的关系 :

$$\omega =\Omega T$$

直流就是 $\omega =2\pi f$ 中的 数字频率 $f=0$ ;

直流的时候 , 数字频率 $f$ 为 $0$ , 则数字角频率 $\omega$ 也为 $0$ ;

证明 " 直流分量角频率 在 $\omega =2M\pi$ " :

直流分量 角频率 在 $\pi$ 的偶数倍上 , 角频率 是以 $2\pi$ 为周期的 , 周期信号的 组织是 $[-\pi ,\pi ]$ ,

在 横轴为 $\omega$ 角频率 , 纵轴为 $X(e^{j\omega })$ 的坐标系中 , 横坐标 $\omega =0$ 位置的值对应 $\omega =2\pi$ 和 $\omega =-2\pi$ , 这 $3$ 个横坐标位置的纵坐标值相等 , 直流分量 永远在 $\pi$ 的偶数倍上 ;

证明 " 最高频率分量 在 $\pi$ 的奇数倍上 " :

根据 $\omega =\Omega T$ , 计算 $\omega =\pi$ 点对应的 模拟频率 ,

$$\omega =\Omega T=\pi$$

模拟角频率 $\Omega =\frac{\pi }{T}$ , 其中 $T$ 是采样周期 , 单位是秒 ;

则采样率 $F_s=\frac{1}{T}$ , 单位是 $Hz$ , 每秒采集多少样本 ;

$\Omega =\frac{\pi }{T}=\frac{{\Omega }_s}{2}$ , 其中 ${\Omega }_s$ 是采样角频率 ;

模拟角频率是 $\Omega =2\pi f$ , 其中 $\Omega$ 是模拟角频率 , $f$ 是模拟频率 ;

$${\Omega }_s=2\pi F_s=\frac{2\pi }{T}$$

根据采样定理 , Ω s