数论小节

Posted 2023-05-13 linghusama

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数论小节相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

1.exgcd

前提：gcd函数代码：

long long gcd(long long a,long long b)
	return b>0?gcd(b,a%b):a;

函数代码：

long long exgcd(long long a,long long b,long long&x,long long &y)
	if(b==0)
		x=1,y=0;
		return a;
	
	long long d=exgcd(b,a%b,x,y);
	long long t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return d;

使用格式：

long long x,y,m,n,l;
	long long X,Y;
	long long x0;
	cin >> x >>y>>m>>n>>l;//解x+tm%l=y+tn%l的t ____x-y+tm-tn=kl(k,t正整数） 
	long long a=m-n;//(m-n)x0-ly0=y-x 求x0最小正整数
	long long b=-l;
	long long c=y-x;
	x0=exgcd(a,b,X,Y);//返回gcd
	if(c%x0!=0)//无解
		cout<<"Impossible";
	
	else 
		b=b/x0;
		cout<<((X*(c)/x0)%b+b)%b;

适用模式：

1.求解方程

解决形如ax+by=c的方程式

2.欧拉函数

函数代码：

int phi(int x)
	int ans=x;
	int i;
	for(i=2;i*i<=x;i++)
		if(x%i==0)
			ans=ans/i*(i-1);
			while(x%i==0)
				x/=i;
			
		
	
	if(x>1)
		ans=ans/x*(x-1);
	
	return ans;

使用格式：

直接用phi(x);

适用模式：

1.求解方程

对形如
$$
a^x mod k \\equiv 1
$$
的x求解———>先求phi(k),再枚举它的因子

2.求解有限制的gcd

不太好说，上例子


		//-----------------------------------------重点在这后面
		int ans=0;
//		for(int i=0;i<=ma;i++)
////			if(gcd(i,m)==1)
////				ans++;
////					
//		//用欧拉函数代替一下 
		ans=phi(ma);
        //----------------------------------------重点在这前面

说白了就是把一堆gcd(i,m),m为定值的和进行o(1)求解

3.(ex)BSGS

函数代码:

long long BSGS(long long a,long long b,long long p,long long v=1)
	if(!a)
        if(!b) return 1;
        else return -1;
    
	long long m =ceil(sqrt(p)),val=1,d;
	for(long long i=0;i<m;++i)
		long long pron=b*val%p;
		MP[pron]=i;
		val=val*a%p;
	
	d=v*val%p;
	for(long long i=1;i<=m;++i)
		
		if(MP.count(d))
			long long res=MP[d];
			return i*m-res;
		
		d=d*val%p;
	
	return -1;

long long exbsgs(long long a,long long b,long long p)
	if (b==1||p==1)return 0;
	long long t,c=0,v=1;
	while((t=gcd(a,p))!=1)
		if(b%t)
			return -1;
		
		else
			p/=t;
			b/=t;
			v=v*a/t%p;
			++c;
			if(b==v)
				return c;
			
		
	
		
		long long ret=BSGS(a,b,p,v);
		return ret!=-1?ret+c:ret;

使用格式：

直接套用即可

适用范围：

1.求解方程组

$$
a^x\\equiv b(mod p)
$$

4.整数分块

代码：

long long fd
	long long res=0;
	for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
		r=n/(n/l);

用法：

1.简化时间复杂度

2.其中每一段，每一段的个数有r-l+1个，值为n/l;

5.莫比乌斯反演（思想）

代码：

m[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++)
    if(!k[i])
        p[++t] = i;
        m[i] = -1;		
    
    for(int j = 1; j <= t && p[j]*i <= n; j++)
        k[p[j]*i] = 1;
        if(i%p[j] == 0) break;
        m[i*p[j]] = -m[i];