怎样求正态分布的平均值与方差

Posted 2023-05-12

要求正态分布的平均值和方差，需要先确定正态分布的概率密度函数。正态分布的概率密度函数为： f(x)= 1/(√(2π)σ) * e^(-((x-μ)^2)/(2σ^2)) 其中，μ 表示正态分布的平均值，σ 表示正态分布的标准差，π 是圆周率。 如果已知正态分布的概率密度函数，那么就可以很容易地求解正态分布的平均值和方差。 正态分布的平均值（mean）就是μ。 正态分布的方差（variance）是指数据分布离散程度的度量，用来衡量数据的分散程度。正态分布的方差是σ^2。 如果已知正态分布的数据样本，那么可以使用样本均值和样本方差来近似估计正态分布的平均值和方差。 样本均值（sample mean）是所有样本数据的平均值，公式为： x̄ = ∑(xi
/ n)
其中，x̄ 表示样本均值，xi 表示第 i 个样本数据，n 表示样本数量。
样本方差（sample variance）是指样本数据的离散程度的度量，用来衡量样本数据的分散程度。样本方差的公式为：
s^2 = ∑((xi-x̄)^2) / (n-1)
其中，s^2 表示样本方差，xi 表示第 i 个样本数据，x̄ 表示样本均值，n 表示样本数量。
样本均值和样本方差可以用来估计正态分布的平均值和方差，但是样本数量较小时，样本均值和样本方差的精确性会有所下降。因此，如果要求出精确的正态分布平均值和方差，应该使用正态分布的概率密度函数来求解。 参考技术A

设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)] 

其实就是均值是u，方差是t^2。

于是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t（*） 

积分区域是从负无穷到正无穷，下面出现的积分也都是这个区域。

（1）求均值 

对（*）式两边对u求导：

∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0 

约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得：

∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0 

把(u-x)拆开，再移项：

∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx 

也就是 

∫x*f(x)dx=u*1=u 

这样就正好凑出了均值的定义式，证明了均值就是u。

(2)方差 

过程和求均值是差不多的，我就稍微略写一点了。

对(*)式两边对t求导：

∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π 

移项：

∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2 

也就是 

∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2 

正好凑出了方差的定义式，从而结论得证。

扩展资料：

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。

对于连续型随机变量X，若其定义域为（a，b），概率密度函数为f（x），连续型随机变量X方差计算公式：D（X）=（x-μ）^2 f（x） dx 

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。（标准差、方差越大，离散程度越大）

若X的取值比较集中，则方差D（X）较小，若X的取值比较分散，则方差D（X）较大。

因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。

参考资料来源：百度百科--方差

参考资料来源：百度百科--正态分布

频率分布直方图，的概念与应用？

参考技术A 在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图。频率分布直方图能清楚显示各组频数分布情况又易于显示各组之间频数的差别。它主要是为了将我们获取的数据直观、形象地表示出来，让我们能够更好了解数据的分布情况