YACS 2022年8月月赛 甲组 T1 约瑟夫问题 题解

Posted 2023-05-11 Xy_top

又来填坑了（大雾

题目链接

#1.为什么用树状数组

做多了题目，看一眼这题就知道要用数据结构了，进一步分析就可以知道这是一道二分和树状数组的题目。（其实用变形的链表 $n\\sqrtn$ 卡卡常也可以吧）

# 2.具体思路

首先设定 $n$ 个位置，第 $i$ 个位置为 $1$ 代表这个人还没出局，否则代表出局了。很容易发现求 $l$ 到 $r$ 中没出局的人数量就是 $l$ 到 $r$ 的和了。

这样，设当前在第 $now$ 个人，跳过 $x$ 个人后的那个人出局，就相当于找 $now$ 的后面（包括 $now$）的第 $x + 1$ 个为 $1$ 的数字。

# 3.how to do it?

确定完正确思路后，来看怎么求。

这是这道题的关键，我们需要使用  二分  算法，（我这里用的是倍增，更加好写）。

首先看要出局的人在什么位置，因为有可能跨越一个环。

如果 $now$ 到 $n$ 中没出局的人数 $\\geq x$，那么答案在 $now$ 到 $n$ 中。否则，$x$ 要减去 $now$ 到 $n$ 的人数，之后就转换成了求 $1$ 到 $now-1$ 第 $x$ 个为 $1$ 的人了。（类似线段树上二分的思想）

当锁定了答案范围之后，现在来讨论如何二分。取 $mid=l+r>>1$，这里如果就按照想的二分，码量会大一点点。

我们可以转换成二分最后一个位置 $loc$，使得 $l$ 到 $loc$ 中没出局的人个数是 $x-1$，那么 $loc+1$ 一定没出局。（否则 $loc+1$ 就是最后一个了啊）我们要求的就是 $loc+1$ 了，这样二分就会简单很多了。（类似倍增求 $LCA$ 的思想）

另外，每次二分完别忘了在这个位置加上 $-1$（出局了），以及更新 $now$ 的值，这题还是环状的，需要取模还有一大堆细节请见代码。

然后就能愉快地 AC 神仙分块甲组题了。

# 4.闲话（其他做法）

其实我也口胡了一个线段树上二分的做法，但是胡完感觉有点困难，$n\\log^2 n$ 能过就没写其实。

大概是这样的：这里的线段树二分不是普通的线段树二分，还需要一个备用量 $sum$。如果二分的时候走了右端点那么需要加 $sum$，其实还有一大堆的分类讨论，所以就没写。

关于变形的链表，每个位置不仅存储下一个元素的位置，还会存储下 $\\sqrtn$ 个元素的位置，这样就可以做到 $n\\sqrtn$，也是一个不错的解法。

 

代码很短，压了点行：

#include <iostream>
using namespace std;
int n, now = 1;
int a[500005], c[500005];
void add (int x, int y) for (; x <= n; x += x & -x) c[x] += y;
int query (int x) return x == 0 ? 0 : c[x] + query (x - (x & -x) );
int sum (int x, int y) return query (y) - query (x - 1);
int q (int x) //求 now（包含）后面第 x 个不为 0 的。
    int l = 1, r = n, res = sum (now, n);
    if (res >= x) 
        l = now;
        r = n;
     else 
        x -= res;
        l = 1, r = now - 1;
    
    int ret = l - 1;
    for (int i = 19; i >= 0; i --)
        if (ret + (1 << i) <= n && sum (l, ret + (1 << i) ) < x) ret += 1 << i;
    return ret + 1;

int main () 
    scanf ("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) 
        scanf ("%d", &a[i]);
        ++ a[i];
        a[i] %= (n - i + 1);
        add (i, 1);
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) 
        if (a[i] == 0) a[i] += n - i + 1;
        int x = q (a[i]);
        printf ("%d\\n", x);
        add (x, -1);
        now = q (a[i]);
    
    return 0;

 

codves1282 约瑟夫问题 链表 会 T

codves1282 约瑟夫问题

STL LIST 链表 暴力模拟 但是会 T list

听说正解是线段树
分析一下，我们有以下两种操作：

1． 找到剩余队列中第K个人在数组中的位置
2． 删除第K个人
假如我们一开始给每个人一个权值1，然后维护一个前缀和s(n)那么，操作1就变成了找到前缀和为i的位置。当将第i个人删除时，只需将其权值置0，维护好前缀和，这样剩余队列中第i’个人的实际位置就在原先第i人后面了。

我们可以把前缀和转换为区间和，所以我们可以用线段树进行快速操作

 

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cmath>
 5 #include <string>
 6 #include <algorithm>
 7 #include <iomanip>
 8 #include <iostream> 
 9 #include <list>
10 using namespace std ; 
11 
12 int n,k ; 
13 list<int> a ; 
14 list<int> ::iterator it ; 
15 list<int> ::iterator temp ; 
16 
17 int main() 
18 {
19     scanf("%d%d",&n,&k) ; 
20     for(int i=1;i<=n;i++) 
21         a.push_back( i ) ; 
22     it = a.begin() ;
23     for(int i=1;i<=n;i++) 
24     {
25         for(int j=1;j<k;j++) 
26             if( ++it==a.end() ) 
27                 it = a.begin() ;  
28         temp = it ; 
29         printf("%d ",*it ) ; 
30         if( ++it==a.end() )  
31             it = a.begin() ; 
32         a.erase(temp) ; 
33     } 
34     return 0 ; 
35 }