复数的基本知识
Posted 2020fengziyang
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了复数的基本知识相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
复数的基本知识
前言
这里只有一点点关于复数的知识，主要是最近的FFT要用到。
表示方法
百度百科
我们把形如 a+bi （a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位 。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
简单来说：
我们定义： \\(i ^ 2 = -1\\) ， 一个复数 \\(z\\) 可以表示为： \\(z = a + b i (a , b \\in R)\\)
其中 \\(a\\) 为 实部 ， \\(b\\) 为 **虚部 ** ，\\(i\\) 为 虚数单位
比如：\\(\\sqrt-5 = \\sqrt5\\ i\\)
我们还可以把复数表示为 复平面 直角坐标系上的一个点，比如下面：
其中 \\(x\\) 轴表示实数， \\(y\\) 轴表示虚数。
这个点 \\((2 , 3)\\) 表示的 复数 就是 \\(2 +3 i\\) ，或者想象它代表的向量为 \\((2 , 3)\\)
我们还可以把它表示成 \\((\\sqrt13 , θ)\\)
一个复数 \\(z = a + b i\\) 的共轭复数为 \\(a - bi\\) （虚部取反）
复数的运算
复数不像点或向量，它和实数一样可以进行四则运算
复数相加满足 平行四边形法则
复数相乘满足 模长相乘，极角相加
设两个复数分别为 \\(z_1 = a + bi , z_2 = c + di\\) ，那么
复数基础知识
复数基础知识
0：前言
- 我们以前都学过，如果一个数要开平方的话，一定要保证被开平方的数是一个正数，但是为了扩充数域，引入复数概念。
- 规定(sqrt{-1}=i^2)。
1：复数的概念
- 形如(z=x+iy)的数就是一个复数，其中(x)和(y)是任意的实数，分别称为复数(z)的实部和虚部。
- 一般来说，复数不能比大小，但是可以说两个复数相等。
2：复数的代数运算
- 加减就对应实部虚部相加就行了。
- 乘法和除法需要稍加注意。
- 乘法：
- (z_1z_2=(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i)
- 除法：
- (frac{z_1}{z_2}=frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}=frac{(x_1+y_1i)(x_2-y_2i)}{(x_2+y_2i)(x_2-y_2i)}=frac{(x_1+y_1i)(x_2-y_2i)}{x_2^2+y_2^2}).
- 之后对上面做乘法就行，也就是说复数的除法要将分母实化。
- 同样复数满足交换律、结合律、分配律。
3：复数的几何表示
- 任意一个复数(z=x+y_i)都有一个与之对应的二维平面点对((x,y))。
如图所示：
- 其中
- (|z|=r=sqrt{x^2+y^2})，表示这个向量的模或长度。
- ( heta=arctanfrac{y}{x})表示向量所对应的幅角。
- 特殊的，当(z=0)时，幅角不确定。
- 也可以知道(x=rcos heta,y=rsin heta)。
- 接着我们可以得到复数的另一种表示：
- (z=x+yi=rcos heta+irsin heta=r(cos heta+isin heta)=re^{i heta})。
- 即(z=re^{i heta}).
- 其中(e^{i heta}=cos heta+isin heta)就是大名鼎鼎的欧拉((Euler))公式。（(e)是自然对数）
- 值得注意的一点！！
- 我们说( heta)表示复数(z)的幅角，但其实幅角的表示可以不唯一。
- 比如说我从( heta)的位置正好逆时针旋转一圈后变成( heta+2pi)，他还是在那个位置，但是他不等于( heta)。
- 所以说幅角可以表示为( heta+2kpi)，其中(k)取任意整数。
- 既然有很多个幅角，我们可以定义一个幅角主值，也就是我们最开始的那个( heta)，不去加(2kpi)。
- 但是比如说(frac{pi}{2})(逆时针扫)，他同样可以用(-frac{3pi}{2})(顺时针扫)来表示。
- 我们规定在(x)轴上方的用逆时针扫的角度，(x)轴下方用顺时针扫的角度。
- 仔细理解这点，后面对复数开根号需要用到。
4：复数的幂与方根
1：复数的积与商
- 设有两个复数(z_1=r_1e^{i heta_1},z_2=r_2e^{i heta_2})。
- (z_1z_2=r_1r_2e^{i( heta_1+ heta_2)})。
- (frac{z_1}{z_2}=frac{r_1}{r_2}*e^{i( heta_1- heta_2)})。
- 所以可以得到以下两个定理：
- 两个复数乘积的模等于他们模的乘积；两个复数乘积的幅角等于他们幅角的和。
- 两个复数商的模等于他们模的商；两个复数商的幅角等于他们幅角的差。
2：复数的幂与方根
幂
- 首先引入一个公式：
- ((cos heta+isin heta)^n=cosn heta+isinn heta).
- 这就是棣莫弗((De Moivre))公式。
- (z^n)就是(n)个(z)乘起来。
- (z^n=r^ne^{in heta}=r^n(cosn heta+isinn heta))。
方根（重点）
- 要求复数(z)的(n)次方根，实际上就是求解方程(w^n=z)，问(w)。
- 设(z=re^{i heta},w= ho e^{iphi}).
- 从而得到方程
- ( ho ^n=r).
- (nphi= heta+2kpi).
- 解得：
- ( ho=sqrt[n]{r}).
- (phi=frac{ heta+2kpi}{n}).
- 所以(w_k=sqrt[n]{r}e^{i(frac{2kpi}{n}+ heta)}).
- 当(k=0,1,2,...,n-1)时，可以得到(n)个相异的根。
- (w_0=sqrt[n]{r}e^{ifrac{ heta}{n}},w_1=sqrt[n]{r}e^{ifrac{ heta+2pi}{n}},w_2=sqrt[n]{r}e^{ifrac{ heta+4pi}{n}},...,w_{n-1}=sqrt[n]{r}e^{ifrac{ heta+2(n-1)pi}{n}}).
- 为什么只有(n)个呢？因为(k)取别的整数的话，所得到的根就和上述的(n)个根重复了。
- 由复数的几何意义可知，最后这(n)个根就表示他们以原点为圆心，以(sqrt[n]{r})为半径在一个圆上均匀分布着。
- 就像这样：
- 这里表示有四个根，
蓝线的四个头。
- 来做个例题收尾吧
- 求(sqrt[4]{1+i}).
- (ecause1+i=sqrt{2}e^{ifrac{pi}{4}}).
- ( herefore sqrt[4]{1+i}=sqrt[8]{2}e^{ifrac{frac{pi}{4}+2kpi}{4}},k=0,1,2,3).
- 有(w_0=sqrt[4]{2}e^{ifrac{pi}{16}},w_1=sqrt[4]{2}e^{ifrac{9pi}{16}},w_2=sqrt[4]{2}e^{ifrac{17pi}{16}},w_3=sqrt[4]{2}e^{ifrac{25pi}{16}}).
- 这四个根表示以原点为圆心，以(sqrt[8]{2})为半径的圆内接正方形的四个顶点。
以上是关于复数的基本知识的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章