Irwin-Hall 分布学习笔记

Posted 2023-05-01 CharlieVinnie

定理：Irwin-Hall 分布

对于 \\(n\\) 个在 \\([0,1]\\) 内均匀分布的实数随机变量，它们的和不超过一个实数 \\(z\\) 的概率为：

\\[F(z)=\\sum\\limits_k=0^\\lfloor z\\rfloor (-1)^k\\binomnk\\frac(z-k)^nn! \\]

证明：

首先明确一个概念：概率密度。

对于一个随机变量 \\(X\\)，在 \\([0,1]\\) 上定义概率密度 \\(\\rho(x)\\)，使得对于任意 \\(t\\in[0,1]\\)，有 \\(\\int_x=0^t \\rho(x)\\mathrmdx=P(X\\le t)\\) 成立。如果令 \\(f(t)=P(X\\le t)\\)，那么就有 \\(\\rho(t)=f\'(t)\\)。

那么对于 \\(n\\) 个随机变量 \\(X_1,X_2,\\dots,X_n\\)，它们的和 \\(\\le z\\) 的概率即为：

\\[P(\\sum X_i\\le z)=\\int\\limits_x_i\\in[0,1],\\sum x_i\\le z\\prod \\rho_i(x_i)\\prod \\mathrmdx_i \\tag1 \\]

可以将概率密度理解为线段 \\([0,1]\\) 上密密地撒有很多很多带权的小点，如果一个随机变量 \\(X_i\\) 取到了点 \\(x_i\\)，那么它就会产生 \\(\\rho_i(x_i)\\) 的权重。多个变量的权重即为每个变量单独的权重之积。仔细理解一下这样的定义是很合理的。

在 Irwin-Hall 分布里，所有随机变量是均匀随机的，所以 \\(P(X\\le t)=t\\)，于是求导即可得 \\(\\rho(t)=1\\)。

为了方便计算，我们将函数 \\(\\rho(x)\\) 进行扩域。准确来说，原本的 \\(\\rho(x)\\) 是定义在 \\([0,1]\\) 上的，这也可以视为当 \\(x\\notin [0,1]\\) 时 \\(\\rho(x)=0\\)；为了方便 \\((1)\\) 式的计算，我们令 \\(\\rho(x)=\\rho\'(x)-\\rho\'\'(x)\\)（这里不是求导），其中 \\(\\rho\'(x)\\) 和 \\(\\rho\'\'(x)\\) 的函数表达式和 \\(\\rho(x)\\) 完全相同，只是 \\(\\rho\'(x)\\) 改为定义在 \\([0,+\\infty)\\) 上，\\(\\rho\'\'(x)\\) 改为定义在 \\([1,+\\infty)\\) 上。这样 \\((1)\\) 式的求和下标中上界就可以省去，有利于进一步的推导。

现在继续对 \\((1)\\) 式的推导。

\\[\\beginaligned P(\\sum X_i\\le z)&=\\int\\limits_x_i\\in[0,1],\\sum x_i\\le z\\prod \\rho_i(x_i)\\prod \\mathrmdx_i\\\\ &=\\int\\limits_x_i\\in[0,1],\\sum x_i\\le z\\prod (\\rho\'_i(x_i)-\\rho\'\'_i(x_i))\\prod \\mathrmdx_i\\\\ &=\\sum\\limits_k(-1)^k\\binomnk\\int\\limits_x_i\\ge 0,\\sum x_i\\le z-k\\prod\\limits_i=1^k \\rho\'\'_i(x_i+1) \\prod\\limits_i=k+1^n \\rho\'_i(x_i)\\prod \\mathrmdx_i \\endaligned \\tag2 \\]

式子中的 \\(k\\) 即枚举钦定了几个变量是大于 \\(1\\) 的，然后进行容斥。

对于 Irwin-Hall 分布来说，\\(\\prod\\limits_i=1^k \\rho\'\'_i(x_i+1) \\prod\\limits_i=k+1^n \\rho\'_i(x_i)\\) 恒为 \\(1\\)，于是 \\((2)\\) 式即为：（注意下标中 \\(x_i\\) 之和 \\(\\le z-k\\) 而非 \\(z\\)）

\\[\\sum\\limits_k(-1)^k\\binomnk\\int\\limits_x_i\\ge 0,\\sum x_i\\le z-k\\prod \\mathrmdx_i \\tag3 \\]

考虑积分里面的式子。我们将 \\(\\sum x_i\\le z-k\\) 视为在 \\(z-k\\) 内选出 \\(n\\) 个数 \\(t_1\\le t_2\\le \\dots \\le t_n\\)，然后计算 \\(\\rho_1(t_1)\\times\\rho_2(t_2-t_1)\\times\\dots\\times\\rho_n(t_n-t_n-1)=1\\)。然后发现 \\(t_1\\le t_2\\le \\dots \\le t_n\\) 很烦，又发现贡献系数和 \\(t_i\\) 的具体值毫无关系，于是可以直接变成 \\(t_i\\) 在 \\([0,z-k]\\) 内任选，然后乘上一个 \\(\\frac1n!\\) 的系数。于是 \\((3)\\) 式即为：

\\[\\sum\\limits_k=0^\\lfloor z \\rfloor(-1)^k\\binomnk\\frac(z-k)^nn! \\]

\\(\\mathrmQ.E.D.\\)

Python学习笔记__10.5章 分布式进程

# 这是学习廖雪峰老师python教程的学习笔记

1、概览

在Thread和Process中，应当优选Process，因为Process更稳定，而且，Process可以分布到多台机器上，而Thread最多只能分布到同一台机器的多个CPU上。

Python的multiprocessing模块不但支持多进程，其中managers子模块还支持把多进程分布到多台机器上。依靠网络通信，一个服务进程可以作为调度者，将任务分布到其他多个进程中。由于managers模块封装很好，不必了解网络通信的细节，就可以很容易地编写分布式多进程程序。

例子：

已经有一个通过Queue通信的多进程程序在同一台机器上运行，现在，由于处理任务的进程任务繁重，希望把发送任务的进程和处理任务的进程分布到两台机器上。怎么用分布式进程实现？

原有的Queue可以继续使用，但是，通过managers模块把Queue通过网络暴露出去，就可以让其他机器的进程访问Queue了

1.1、服务进程编写

服务进程负责启动Queue，把Queue注册到网络上，然后往Queue里面写入任务

# task_master.py

 

import random, time, queue

from multiprocessing.managers import BaseManager

 

# 发送任务的队列，类型为class:

task_queue = queue.Queue()

# 接收结果的队列:

result_queue = queue.Queue()

 

# 定义了对全局变量task_queue进行操作的函数

def ret_task_queue():

    global task_queue

    return task_queue

 

def ret_result_queue():

    global result_queue

    return result_queue

 

 

# 从BaseManager继承的QueueManager:

class QueueManager(BaseManager):

    pass

 

# 把两个Queue都注册到网络上, 并且为其关联了一个可执行的函数，函数的返回值是Queue对象

# 给get_task_queue关联了一个ret_task_queue函数。函数的返回值是Queue对象。即get_task_queue()==ret_task_queue()

# 相当于callable将一个可执行对象的内容赋给了get_task_queue

# register()方法，就是在manager添加方法。在后面，dir(manager),就能看到

QueueManager.register('get_task_queue', callable=ret_task_queue)

QueueManager.register('get_result_queue', callable= ret_result_queue)

# 绑定端口5000, 设置验证码'abc'，验证码是为了保证两台机器正常通信，不被其他机器恶意干扰

manager = QueueManager(address=('', 5000), authkey=b'abc')  #manger是个类。我的理解是这里给manger，定义了两个属性

# 启动Queue:

manager.start()

# 获得通过网络访问的Queue对象:

# 我的理解是QueueManager最后将get_task_queue()做成了manager的一个方法。

task = manager.get_task_queue()  # task 是个类

result = manager.get_result_queue()

# 放几个任务进去:

for i in range(10):

    n = random.randint(0, 10000)

    print('Put task %d...' % n)

    task.put(n)

# 从result队列读取结果:

print('Try get results...')

for i in range(10):

    r = result.get(timeout=10)

    print('Result: %s' % r)

# 关闭:

manager.shutdown()

print('master exit.')

1.2、启动任务进程

在分布式多进程环境下，添加任务到Queue不可以直接对原始的task_queue进行操作，那样就绕过了QueueManager的封装，必须通过manager.get_task_queue()获得的Queue接口添加

# task_worker.py

 

import time, sys, queue

from multiprocessing.managers import BaseManager

 

# 创建类似的QueueManager:

class QueueManager(BaseManager):

    pass

 

# 由于这个QueueManager只从网络上获取Queue，所以注册时只提供名字:

#  register()就是给QueueManager()，添加了一个方法

QueueManager.register('get_task_queue')

QueueManager.register('get_result_queue')

 

# 连接到服务器，也就是运行task_master.py的机器:

server_addr = '127.0.0.1'

print('Connect to server %s...' % server_addr)

# 端口和验证码注意保持与task_master.py设置的完全一致:

m = QueueManager(address=(server_addr, 5000), authkey=b'abc')

# 从网络连接:

m.connect()

# 获取Queue的对象:

task = m.get_task_queue()

result = m.get_result_queue()

# 从task队列取任务,并把结果写入result队列:

for i in range(10):

    try:

        n = task.get(timeout=1)

        print('run task %d * %d...' % (n, n))

        r = '%d * %d = %d' % (n, n, n*n)

        time.sleep(1)

        result.put(r)

    except Queue.Empty:

        print('task queue is empty.')

# 处理结束:

print('worker exit.')

 

 

结果：

# task_master.py服务进程：

$ python3 task_master.py

Put task 3411...

Put task 1605...

Put task 1398...

Put task 4729...

Put task 5300...

Put task 7471...

Put task 68...

Put task 4219...

Put task 339...

Put task 7866...

Try get results...

# task_master.py进程发送完任务后，开始等待result队列的结果。现在启动task_worker.py进程

$ python3 task_worker.py

Connect to server 127.0.0.1...

run task 3411 * 3411...

run task 1605 * 1605...

run task 1398 * 1398...

run task 4729 * 4729...

run task 5300 * 5300...

run task 7471 * 7471...

run task 68 * 68...

run task 4219 * 4219...

run task 339 * 339...

run task 7866 * 7866...

worker exit.

# task_worker.py进程结束，在task_master.py进程中会继续打印出结果：

Result: 3411 * 3411 = 11634921

Result: 1605 * 1605 = 2576025

Result: 1398 * 1398 = 1954404

Result: 4729 * 4729 = 22363441

Result: 5300 * 5300 = 28090000

Result: 7471 * 7471 = 55815841

Result: 68 * 68 = 4624

Result: 4219 * 4219 = 17799961

Result: 339 * 339 = 114921

Result: 7866 * 7866 = 61873956

 

2、总结

Queue对象存储在哪？注意到task_worker.py中根本没有创建Queue的代码，所以，Queue对象存储在task_master.py进程中。

 

而Queue之所以能通过网络访问，就是通过QueueManager实现的。由于QueueManager管理的不止一个Queue，所以，要给每个Queue的网络调用接口起个名字，比如get_task_queue。

 

authkey有什么用？这是为了保证两台机器正常通信，不被其他机器恶意干扰。如果task_worker.py的authkey和task_master.py的authkey不一致，肯定连接不上。

 

注意Queue的作用是用来传递任务和接收结果，每个任务的描述数据量要尽量小。比如发送一个处理日志文件的任务，就不要发送几百兆的日志文件本身，而是发送日志文件存放的完整路径，由Worker进程再去共享的磁盘上读取文件。