群论学习笔记

Posted 2023-05-01 mikefeng

1.群

1.1 群的定义

若集合 \\(S \\not=\\varnothing\\) 和 \\(S\\) 上的运算 \\(\\cdot\\) 构成的代数结构 \\((S,\\cdot)\\) 满足以下性质：

• 封闭性 \\(\\forall a,b\\in S,a\\cdot b\\in S\\)

群论群

群

    群是一个非常厉害的数学理论，解决了5次方程问题，在几何学、拓扑学、函数论等方面都有巨大的作用

   

    群的定义：

        ①封闭性：对任意a和b属于集合G，存在唯一确定的c属于集合G，使得a*b=c

                      (任意a,b∈G，存在唯一确定的c∈G,a*b=c)

     

        ②结合律：对任意a,b,c属于集合G，那么(a*b)*c=a*(b*c)

                      (任意a,b,c∈G,(a*b)*c=a*(b*c))

  

        ③单位元：存在e属于集合G和任意a属于集合G,a*e=e*a=a,这时我们把e称作单位元(也成幺元)

                      (存在e∈G，任意a∈G，a*e=e*a=a)

 

        ⑤逆元：对任意a属于集合G,存在b属于集合G，使得a*b=b*a=e（单位元）,记b=a^(-1)

                     (对任意a∈G,存在b∈G，使得a*b=b*a=e（单位元）,记b=a^(-1))

 

    如果满足以上条件，那么则称集合G在运算“*”的意义之下是一个群，简称G是群，a*b一般写为ab。

    如果是具体乘法“*”，那么G为乘法群。具体运算为加法“+”，则称为加法群。

    若G的元素是有限的，则称为有限群。无限则称之为无限群。

 

群的运算：

    对于g∈G，对于G的子集H，定义g*H={gh|h∈H}，简写为gH:H*g={hg|h∈G}，可以简写为Hg。

    对于G的子集A、B，定义A*B=｛ab|a∈A,b∈B｝,简写为AB

    对于G的子集H，记H^(-1)={h^(-1)|h∈H}。

 

    定理1：若(G,*)是群，那么对于任意g∈G,gG=Gg=G

    定理2：若(G,*)是群，H是G的非空子集，那么(H,*)也是群，H为G的子群。