树状数组

Posted 2023-05-01 lc0802

树状数组学习笔记

第 $ 1 $ 章：树状数组

什么是树状数组？

树状数组可以理解为一个简易的线段树。

列题一

给定 \\(a\\) 个数，执行 \\(q\\) 次操作：

\\(op=1\\) 时：将 \\(a_x\\) 改成 \\(y\\)

\\(op=2\\) 时：询问 \\(a_x\\) 到 \\(a_y\\) 的和

这题显然可以用暴力做，用数组储存，操作 \\(1\\) 复杂度是 \\(O(1)\\) ，但操作 \\(2\\) 的复杂度是 \\(O(n)\\) 。绝对超时。

考虑使用树状数组。

我们定义一个数组 \\(b\\) :

\\(b_1=a_1\\)

\\(b_2=a_1+a_2\\)

\\(b_3=a_3\\)

\\(b_4=a_1+a_2+a_3+a_4\\)

\\(…\\)

树状数组的树状数组的经典操作

参考技术A

给定一个初始值都为0的序列,动态地修改一些位置上的数字,加上一个数,减去一个数,或者乘上一个数,然后动态地提出问题,问题的形式是求出一段数字的和.
算法分析
如果直接做的话,修改的复杂度是O(1),询问的复杂度是O(N),M次询问的复杂度是M*N.M,N的范围可以有100000以上,所以这样做会超时,但是如果用线段树的话,还是很不错的! 有很多线段树能实现但树状数组却实现不了的题目。
线段树解法分析
可以看出,这棵树的构造用二分便可以实现.复杂度是2*N.
每个结点用数组a来表示该结点所表示范围内的数据之和.
修改一个位置上数字的值,就是修改一个叶子结点的值,而当程序由叶子结点返回根节点的同时顺便修改掉路径上的结点的a数组的值.
对于询问的回答,可以直接查找i..j范围内的值,遇到分叉时就兵分两路,最后在合起来.也可以先找出0..i-1的值和0..j的值,两个值减一减就行了.后者的实际操作次数比前者小一些.
这样修改与维护的复杂度是logN.询问的复杂度也是logN,对于M次询问,复杂度是MlogN.
然而不难发现,线段树的编程复杂度大,空间复杂度大,时间效率也不高!!!!
所以我们来想用树形数组来实现:
那么,何为树形数组呢??
C数组就是树状数组,a数组是原数组;
对于序列a，我们设一个数组C定义C[t] = a[t – 2^k + 1] + … + a[t]，k为t在二进制下末尾0的个数。
K的计算可以这样:
2^k=t and (t xor (t-1))
以6为例
(6)10=(0110)2
xor 6-1=(5)10=(0101)2
(0011)2
and (6)10=(0110)2
(0010)2
所以问题变的很简单,重要写几个函数就可以了;
求2^k的函数代码如下: int Lowbit(int t)return t&(t^(t-1));FunctionLowbit(t:longint):longint;BeginLowbit:=tand(txor(t-1));End;求1 -- end和的函数代码如下: intSum(intend)intsum=0;while(end>0)sum+=in[end];end-=Lowbit(end);returnsum;FunctionSum(tail:longint):longint;Vars:longint;Begins:=0;whiletail>0dobegininc(s,in[tail]);dec(tail,Lowbit(tail));end;sum:=s;End;对某位进行操作函数如下(以加法为例) void plus(int pos,int num)while(pos<=n)in[pos]+=num;pos+=Lowbit(pos);Procedureplus(p,num:longint);Beginwhilep<=ndobegininc(in[p],num);inc(p,Lowbit(p));end;End.有了这三个函数整个树形数组也就基本构建成功啦!!
对于刚才的一题,每次修改与询问都是对C数组做处理.空间复杂度有3N降为N,时间效率也有所提高.编程复杂度更是降了不少.
对于lowbit可有优化 P :lowbit:=X AND(not x+1)或 X AND (-X); C: lowbit:=x &(-x)或 x & (~x+1); 求n个数中 k组提问 从t到t1个数字之和
pascal代码 programBIT_test;uses sysutils;var a,c:array[1..100000]oflongint;    n:longint;    ch:char;    i,k,t,t1:longint;    ti:double;//计时用functionLow_bit(x:longint):longint;//取出x在二进制下最右边一个1begin  exit(x and (-x));end;procedure Modify(pos,x:longint);//改变数据begin  while pos<=n do begin    inc(c[pos],x);    inc(pos,low_bit(pos))  end;end;function sum(pos:longint):longint;//1..pos求和begin  sum:=0;  while pos>0 do begin    inc(sum,c[pos]);    dec(pos,low_bit(pos));  end;end;begin  readln(n);  for i:=1 to n do begin    read(a[i]);    Modify(i,a[i]);  end;  readln;  ti:=now;  readln(k);  for i:=1 to k do begin    readln(t,t1);    writeln(sum(t1)-sum(t-1));  end;  writeln((now-ti)*86400*1000:0:0,'MS');end.