线段树

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了线段树相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

线段树基于分治的思想,其点更新、区间更新、区间查询均可以在O(logn)时间复杂度内完成

线段树又称区间树, 是一种基于分治思想的二叉树结构, 每个节点代表一段区间


线段树的每个节点代表一个区间

对于每个内部节点 [l,r] , 它的左儿子是 [l,mid] , 右儿子是 [mid+1,r]

用一维数组存整棵树

\\[对于编号为x的节点 \\begincases 父节点: [\\dfracx2] \\quad\\quad\\quad\\quad\\, x\\gg1 \\\\[1.5ex] 左儿子: 2x \\quad\\quad\\quad\\quad\\,\\,\\,\\, x\\ll1\\\\[1.5ex] 右儿子: 2x+1 \\quad\\quad\\quad x\\ll1|1\\\\[1.5ex] \\endcases \\]

对于一个长度为 n 的区间, 需要建立大小为 4n 的数组维护

每个节点表示该节点表示区间的某种属性


//线段树操作模板(以维护区间最大值为例)

//结构体存储整棵线段树
struct Node

    int l,r;
    int v;	//区间[l,r]的最大值
tr[N*4]; //空间大小开区间长度四倍

//建树操作
void build (int u,int l,int r)	//构建节点u,其维护的区间是[l,r]

    tr[u]=l,r;
    if(l==r)return;	//已经是叶子节点
    int mid=l+r>>1;
    build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);	//递归构建左右子区间


//push_up操作,用子节点信息来更新父节点信息(以维护区间最大值为例)
void push_up (int u)

    tr[u].v=max(tr[u<<1].v,tr[u<<1|1].v);


//query操作,用来查询某一段区间内的信息(以最大值为例)
int query (int u,int l,int r)	//从节点u开始查询,[l,r]表示需要查询的目标区间

    if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r)return tr[u].v;
    //说明当前节点维护的区间已经被查询区间完全包含,不需要继续向下递归
    
    int res=-0x3f3f3f3f;
    int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
    if(l<=mid)res=max(res,query(u<<1,l,r));	//递归左子区间
    if(r>mid)res=max(res,query(u<<1|1,l,r));	//递归右子区间
    return res;


//modify操作,用来修改某一叶子节点并更新其所有父节点
void modify (int u,int x,int v)	//从节点u开始递归查找,将第x个点的值修改为v

    if(tr[u].l==x&&tr[u].r==x)tr[u].v=v;
    else
    
        int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
        if(x<=mid)modify(u<<1,x,v);
        else modify(u<<1|1,x,v);
        push_up(u);
    


懒标记

在进行区间修改时, 可以先需要修改的区间打上标记, 等查询到该区间时再将标记传递

借助懒标记, 可以节省大量的时间, 将区间修改的时间复杂度降至 O(logn)

//带懒标记的线段树模板(以区间修改,区间和查询为例)

struct Node

    int l,r;
    long long sum,add;	//add即为懒标记,储存子节点需要加上的数(不包括父节点)
tr[N*4];

void pushup (int u)

    tr[u].sum=tr[u<<1].sum+tr[u<<1|1].sum;


void pushdown (int u)	//向下传递懒标记

    auto &root=tr[u],&left=tr[u<<1],&right=tr[u<<1|1];
    if(root.add)
    
        left.add+=root.add;
        left.sum+=(long long)(left.r-left.l+1)*root.add;
        right.add+=root.add;
        right.sum+=(long long)(right.r-right.l+1)*root.add;
        root.add=0;
    


void build (int u,int l,int r)

    if(l==r)tr[u]=l,r,w[r],0;
    else
    
        tr[u]=l,r;
        int mid=l+r>>1;
        build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);
        pushup(u);
    


void modify (int u,int l,int r,int d)	//给[l,r]内每个数加上d

    if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r)
    
        tr[u].sum+=(long long)(tr[u].r-tr[u].l+1)*d;
        tr[u].add+=d;
    
    else	//左右子区间要分裂
    
        pushdown(u);
        int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
        if(l<=mid)modify(u<<1,l,r,d);
        if(r>mid)modify(u<<1|1,l,r,d);
        pushup(u);
    


long long query (int u,int l,int r)	//查询区间[l,r]的和

    if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r)return tr[u].sum;
    
    pushdown(u);
    int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
    long long sum=0;
    if(l<=mid)sum=query(u<<1,l,r);
    if(r>mid)sum+=query(u<<1|1,l,r);
    return sum;



错误记录加强版

线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  线段树四倍  

以上是关于线段树的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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