支配集的支配集原理

Posted 2023-04-30

参考技术A

D是图G=<V,E>的一个顶点子集，对于G的任一顶点v，要么v属于D，要么与D中的一个顶点相邻，则D称为图G的一个支配集。若在D集中去掉任何元素后D不再是支配集，则称D是极小支配集。称图G的所有支配集中顶点个数最少的支配集为最小支配集，最小支配集中的顶点个数称为图G的支配数。
如何求G的所有极小支配集合？
对符号X,Y,Z，定义两种运算X+Y（加法运算，或运算）和XY（乘法运算，与运算），满足以下运算定律：
交换律：X+Y = Y+X; XY = YX
结合律：(X+Y)+Z = X+(Y+Z); (XY)Z = X(YZ)
分配律：X(Y+Z) = XY+XZ
吸收律：X+X = X; XX = X; X+XY = X
求所有极小支配集的公式：
一个顶点与它相邻的所有顶点进行加法运算组成一个因子项，n个因子项再相乘。连乘过程中根据上述运算规律展开成积之和的形式。每一积项给出一个极小支配集。
(1 + 2 + 3 + 4)(2 + 1 + 4)(3 + 1 + 4)(4 + 1 + 2 + 3 + 5 + 6)(5 + 4 + 6)(6 + 4 + 5)
=15 + 16 + 4 + 235 + 236
故极小支配集为
V1, V5, V1, V6, V4, V2, V3, V5, V2, V3, V6

树的最小支配集

/**
    最小支配集，就是图中用最少的点覆盖其它所有点
    如果用选A点覆盖，则与A点相连的点都被覆盖，大致
    就是这样
    百度里面搜到一道题
    有一个图G，现在希望在一些点建立控制站，每个控制站能控制与它相临的点（直接相连），
    现在希望有选择的在一些点建立控制站，使得以最小得控制站数，控制所有的点

    图的最小支配集是NP 问题，我只会树的最小支配集模板，就是
    图G 是树形结构

    判断树的最小支配集，条件如下
    1、选一结点为根后序遍历
    2、遍历过程中，如果该结点没被覆盖，该结点的父亲结点没被覆盖，且
    该结点的子结点中没有被覆盖的，则该结点的父亲结点即为一覆盖点

    就上面两个条件即可实现，证明不会，自己画画就能懂

    现在用vector 存边来写下

    #include <vector>

    vector<int> adj[M];
    bool vis[M], over[M];
    int ans;

    //初始化: vis, over, ans = 0

    //调用dfs(1, 1), 选 1 为根节点

    void dfs(int u, int fa) 
    //根节点判断可省去判断父亲结点
        vis[u] = 1;
        bool flag = false;
        for (int i=0; i<adj[u].size(); i++) 
            int v = adj[u][i];
            if (!vis[v]) 
                dfs(v, u);
                flag = flag || over[v];
            
        
        if (!over[fa] && !flag && !over[u]) 
        //父亲结点没覆盖，没子结点覆盖，本身没覆盖，3个条件
            over[fa] = 1;
            ans++;
        
    

    ans即为最小支配集得个数，over[x] 表示x点被覆盖

    POJ 3659

*/

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