P3573 [POI2014]RAJ-Rally 题解

Posted 2023-04-29 closureshop

拓扑序的妙用

非常好题目，爱来自 xc。

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• 看到有向无环图，想到拓扑序。通过拓扑序，可以轻松求出以每个点为起点的最长路 \\(disS\\)与每个点为终点的最长路 \\(disF\\)。

• 如何求总共的最长路？在 \\(disS,disF,disS_u + 1 + disF_v((u,v)\\in E)\\) 中取最大值即可。注意最后一项，表示将连边的二点值相加。

• 如何处理删点？删掉一个点后，有一些点的 \\(disS\\) 不会变，有一些点的 \\(disT\\) 不会变。我们不妨把这两类点进行分组，得到组 \\(A\\) 和组 \\(B\\)。

• 为什么要进行分组？因为第三类取值 \\(disS_u + 1 + disF_v\\) 只会在两组间连边产生，且 \\(u\\in A,v\\in B\\)。因为只有此时 \\(disS_u\\) 和 \\(disF_v\\) 才不会受删点影响。

• 发现 \\(A\\) 与 \\(B\\) 的单次加减是简单的，于是我们考虑递推每一个答案。

• 若当前求的点为 \\(u\\)，不妨认为在这之后我们会将 \\(u\\) 从 \\(B\\) 中加入 \\(A\\) 中。那么我们要删除 \\(disF_u\\) 以及所有包含 \\(disF_u\\) 的第三类值，同时加入 \\(disS_u\\) 与所有包含 \\(disS_u\\) 的第三类值。此时最大值就是答案。

• 注意到上述过程需要满足当加入 \\(u\\) 时，所有 \\(u\\) 连向的点还在 \\(B\\) 内。因此递推的顺序是翻转的拓扑序。

• 删除加入求最大值可以用优先队列解决，由于一次就写过了不知道有什么需要注意的点。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 5;

template<typename T> bool chkmax(T &a, T b)  return a < b ? (a = b, 1) : 0; 
template<typename T> bool chkmin(T &a, T b)  return a > b ? (a = b, 1) : 0; 

int n, m;
namespace Graph 
    template<const int M> 
    struct graph 
        int st[M], nx[M << 1], to[M << 1], cnt;
        void add(int u, int v)  to[++cnt] = v;nx[cnt] = st[u];st[u] = cnt; 
    ;
    #define go(g, u, v) for (int i = g.st[u], v = g.to[i]; i; i = g.nx[i], v = g.to[i])
    graph<N << 1> g, ig;

    int in[N], out[N], hisI[N], hisO[N];
    bool vis[N];
    void add(int u, int v) 
        g.add(u, v);
        ig.add(v, u);
        vis[u] = vis[v] = true;
        ++hisI[v];++hisO[u];
        ++in[v];++in[u];
    
    void init() 
        for (int i = 1; i <= n; ++i) in[i] = hisI[i], out[i] = hisO[i];
    

    vector<int> A, B;
    int disS[N], disF[N];
    void findS() 
        init();
        queue<int> q;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) if (out[i] == 0 && vis[i] == true) q.push(i);
        while (!q.empty()) 
            int u = q.front();q.pop();
            A.push_back(u);
            go (ig, u, v) 
                if (--out[v] == 0) q.push(v);
                chkmax(disS[v], disS[u] + 1);
            
         
        for (int i = A.size() - 1; i >= 0; --i) B.push_back(A[i]);
    
    void findF() 
        init();
        queue<int> q;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) if (in[i] == 0) q.push(i);
        while (!q.empty()) 
            int u = q.front();q.pop();
            go (g, u, v) 
                if (--in[v] == 0) q.push(v);
                chkmax(disF[v], disF[u] + 1);
            
        
    

    struct Pqueue 
        priority_queue<int> q, del;
        void push(int x)  q.push(x); 
        void pop(int x)  del.push(x); 
        int top()  
            while (!del.empty() && q.top() == del.top()) q.pop(), del.pop();
            return q.top();
        
        int size() 
            while (!del.empty() && q.top() == del.top()) q.pop(), del.pop();
            return q.size();
         
    Q;

    pair<int, int> work() 
        int ans = 2147483647, id = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) Q.push(disS[i]);
        for (auto u : B) 
            Q.pop(disS[u]);
            go (ig, u, v) Q.pop(disF[v] + 1 + disS[u]);
            if (chkmin(ans, Q.top())) id = u;
            go (g, u, v) Q.push(disF[u] + 1 + disS[v]);
            Q.push(disF[u]);
        
        return make_pair(id, ans);
    

int main() 
    freopen("text.in", "r", stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1, u, v; i <= m; ++i) 
        cin >> u >> v;
        Graph::add(u, v);
    

    Graph::findS();
    Graph::findF();

    pair<int, int> ans = Graph::work();
    cout << ans.first << \' \' << ans.second << endl;

    return 0;

Bzoj2280 [Poi2011]Plot

Time Limit: 300 Sec  Memory Limit: 128 MBSec  Special Judge
Submit: 392  Solved: 79

Description

给出一系列点p_1, p_2, ... , p_n，将其分成不多余m个连续的段，第i段内求一个点q_i，使得q_i到这段内点的距离的最大值的最大值最小

 

Input

第一行，n m
下面n行，每行两个整数，表示p_i的x y坐标
1<=m<=n<=100000
坐标范围[-1000000,1000000] 0<p,q,r<=150，输入中至少包含一个’N’

 

Output

第一行，q_i到这段内点的距离的最大值的最大值的最小值
第二行，分成的段数k
下面k行，每行两个实数，表示q_k的x y坐标

All the real numbers should be printed with at most 15 digits after the decimal point. 

Sample Input

7 2
2 0
0 4
4 4
4 2
8 2
11 3
14 2

Sample Output

3.00000000
2
2.00000000 1.76393202
11.00000000 1.99998199

HINT

 

wyx528提供SPJ

 

Source

 

数学问题 计算几何 随机增量法 + 二分答案

 

出题人丧心病狂系列。

刚开始没看数据，还以为是一维的DP……

如果已知要求哪些点放在同一段的话，是一个最小圆覆盖问题。

然后发现放在同一段的必须是原序列中连续的一些点，那么可以二分答案+贪心覆盖。

贪心的时候要二分判断最远能覆盖到多远 ←但是由于常数巨大，二分也太慢了，需要先倍增，倍增不动了再二分。

剩下的就是卡精度+卡常数。

在随机增量函数里把一个变量a写成了p，竟然还过了前几组数据，以至于我坚定地认为是计算精度有问题，各种卡精度

当发现这个错误的时候，代码已经被照着别人的题解改得面目全非……

 

最后——

卡评测姬真™开心！

那种整个列表都是pending，所有人等着你一个人评测，而你并没有恶意卡评测姬不怕别人怼的感觉真是太棒辣 （光速逃

 

  1 #include<iostream>
  2 #include<algorithm>
  3 #include<cstring>
  4 #include<cstdio>
  5 #include<cmath>
  6 //#include<ctime>
  7 #define LL long long
  8 using namespace std;
  9 const long double eps=1e-10;
 10 const int mxn=100010;
 11 int read(){
 12     int x=0,f=1;char ch=getchar();
 13     while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
 14     while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
 15     return x*f;
 16 }
 17 struct point{
 18     long double x,y;
 19     point(){}
 20 //    point(double _x,double _y):x(_x),y(_y){}
 21     point(long double _x,long double _y):x(_x),y(_y){}
 22     point operator + (const point &b){return point(x+b.x,y+b.y);}
 23     point operator - (const point &b){return point(x-b.x,y-b.y);}
 24     long double operator * (const point &b){return x*b.x+y*b.y;}
 25 //    point operator * (const long double v){return point(x*v,y*v);}
 26     point operator / (const long double v){return point(x/v,y/v);}
 27 }p[mxn];
 28 inline int DT(long double x){
 29     if(fabs(x)<eps)return 0;
 30     return x<0?-1:1;
 31 }
 32 inline long double sqr(long double x){return x*x;}
 33 inline long double dist(point a,point b){
 34     return sqrt(sqr(a.x-b.x)+sqr(a.y-b.y));
 35 }
 36 /*
 37 inline double dist(point &a,point &b){
 38     return sqrt((a-b)*(a-b));
 39 }
 40 */
 41 inline point cir(point &p1,point &p2,point &p3){
 42     long double a=2*(p2.x-p1.x),b=2*(p2.y-p1.y);
 43     long double c=p2*p2-p1*p1;
 44     long double d=2*(p3.x-p1.x),e=2*(p3.y-p1.y);
 45     long double f=p3*p3-p1*p1;
 46     point O;O.x=(b*f-e*c)/(b*d-e*a);O.y=(d*c-a*f)/(b*d-e*a);
 47     return O;
 48 }
 49 int n,m;
 50 point ans[mxn],CI;int top=0;
 51 point a[mxn];
 52 long double check(int L,int R){
 53     for(int i=L;i<=R;i++)a[i]=p[i];
 54     random_shuffle(a+L,a+R+1);
 55     int i,j,k;
 56     long double r=0;point C=a[L];
 57     for(i=L+1;i<=R;i++)if(DT(dist(C,a[i])-r)>0){
 58         C=a[i];r=0;
 59         for(j=L;j<i;j++)if(DT(dist(C,a[j])-r)>0){
 60             C=(a[i]+a[j])/2;
 61             r=dist(C,a[j]);
 62             for(k=L;k<j;k++)
 63                 if(DT(dist(C,a[k])-r)>0){
 64                     C=cir(a[i],a[j],a[k]);
 65                     r=dist(C,a[i]);
 66                 }
 67         }
 68     }
 69     CI=C;
 70     return r;
 71 }
 72 int calc(int s,int now,long double lim){
 73     int i;
 74     for(i=1;;i=min(n-s+1,i<<1)){
 75         long double r=check(s,s+i-1);
 76         if(r<lim+eps){ans[now]=CI;}
 77             else break;
 78         if(i==n-s+1)return n;
 79     }
 80     int l=s+(i>>1)-1,r=s+i-1,mid;
 81     while(l+1<r){
 82         mid=(l+r)>>1;
 83         long double R=check(s,mid);
 84         if(DT(R-lim)<=0){
 85             ans[now]=CI;
 86             l=mid;
 87         }else r=mid;
 88     }
 89     return l;
 90 }
 91 bool solve(double lim){
 92     top=0;
 93     for(int i=1,ed=i;i<=n && top<=m;i=ed+1){
 94         top++;
 95         ed=calc(i,top,lim);
 96     }
 97     return (top<=m);
 98 }
 99 int main(){
100 //    freopen("in.txt","r",stdin);
101     int i,j;
102     srand(19260817);
103     n=read();m=read();
104     for(i=1;i<=n;i++){
105         scanf("%Lf%Lf",&p[i].x,&p[i].y);
106     }
107     long double l=0,r=check(1,n);int cnt=0;
108     while(r-l>eps){
109         cnt++;
110         if(cnt>45)break;
111         long double mid=(l+r)/2;
112         if(solve(mid))r=mid;
113         else l=mid;
114     }
115     solve(r+eps);
116     printf("%.15lf\n",(double)r+1e-10);
117     printf("%d\n",top);
118     for(i=1;i<=top;i++){
119         printf("%.15Lf %.15Lf\n",ans[i].x,ans[i].y);
120     }
121     return 0;
122 }