特别行动队

Posted 2023-04-29 wscqwq

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其实这题直接推式子，不需要转换，还是很简单的。
考虑用 \\(f_i\\) 表示前 \\(i\\) 名士兵修正战斗力之和的最大值。令 \\(X=sum_i-sum_j\\)，易得 \\(f_i=f_j+aX^2+bX+c\\)。

将 \\(X=sum_i-sum_j\\) 代入得 \\(f_i=f_j+a(sum_i-sum_j)^2+b(sum_i-sum_j)+c\\)。其中 \\(i\\) 是常量。展开得 \\(f_i=f_j+asum_i^2+asum_j^2-2asum_isum_j+bsum_i-bsum_j+c\\)

\\[(f_j+asum_j^2-bsum_j)=(2asum_i)sum_j+(f_i-asum_i^2-bsum_i-c) \\]

\\[y=kx+b \\]

求 \\(\\max b\\)。

\\(k\\) 递减，\\(x\\) 递增

维护一个上凸包即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define L(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define R(i,l,r) for(int i=r;i>=l;--i)
const int N=1000010;
int n,sum[N],q[N];
typedef long long ll;
ll f[N],a,b,c;
#define y(j) (f[j]+a*sum[j]*sum[j]-b*sum[j])
namespace IO
    int len=0;
    char ibuf[(1<<20)+1],*iS,*iT,out[(1<<25)+1],ar[50];
    #define gh()\\
    (iS==iT?iT=(iS=ibuf)+fread(ibuf,1,(1<<20)+1,stdin),\\
    (iS==iT?EOF:*iS++):*iS++)
    void read()
    template<typename Type,typename...Types>
    void read(Type&x,Types&...xs)
        char ch=gh();
        char t=0;
        while(ch<\'0\'||ch>\'9\')t|=ch==\'-\',ch=gh();
        while(ch>=\'0\'&&ch<=\'9\')x=x*10+(ch^48),ch=gh();
        x=t?-x:x;
        read(xs...);
    
    void putc(char ch)out[len++]=ch;
    void write(char c)
    template<typename Type, typename... Types>
    void write(char c,Type&x,Types&...xs)
        int tot=0;
        if(!x)putc(\'0\');
        if(x<0)putc(\'-\'),x=-x;
        while(x)ar[++tot]=x%10+\'0\',x/=10;
        for(int i=tot;i;--i)putc(ar[i]);
        putc(c);
        write(c,xs...);
    
    void flush()
        fwrite(out,1,len,stdout);
        len=0;
    

using namespace IO;
int main()
    // freopen("1.in","r",stdin);
    // freopen("1.out","w",stdout);
    // ios::sync_with_stdio(0);
    // cin.tie(0);
    // cout.tie(0);
    read(n,a,b,c);
    L(i, 1, n)
        read(sum[i]);
        sum[i]+=sum[i-1];
    
    int hh=0,tt=0;
    L(i, 1, n)
        while(hh<tt&&(y(q[hh+1])-y(q[hh]))>=2*a*sum[i]*(sum[q[hh+1]]-sum[q[hh]]))++hh;
        int j=q[hh],X=sum[i]-sum[j];
        f[i]=f[j]+a*X*X+b*X+c;
        while(hh<tt&&(y(q[tt])-y(q[tt-1]))*(sum[i]-sum[q[tt]])<=(y(i)-y(q[tt]))*(sum[q[tt]]-sum[q[tt-1]]))--tt;
        q[++tt]=i;
    
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;

[luogu P3628] [APIO2010]特别行动队

[luogu P3628] [APIO2010]特别行动队

题目描述

你有一支由 n 名预备役士兵组成的部队，士兵从 1 到 n 编号，要将他们拆分 成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号 应该连续，即为形如(i, i + 1, ..., i + k)(i,i+1,...,i+k)的序列。 编号为 i 的士兵的初始战斗力为 xi ，一支特别行动队的初始战斗力 x 为队内 士兵初始战斗力之和，即 x = x_i + x_{i+1} + ... + x_{i+k}x=x?i??+x?i+1??+...+x?i+k??。

通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力 x 将按如下经验公 式修正为 $x‘：x‘ = ax2 + bx + c$，其中 a, b, c 是已知的系数（a < 0）。 作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后 战斗力之和最大。试求出这个最大和。

例如，你有 4 名士兵， x_1 = 2, x_2 = 2, x_3 = 3, x_4 = 4x?1??=2,x?2??=2,x?3??=3,x?4??=4。经验公式中的参数为 a = –1, b = 10, c = –20。此时，最佳方案是将士兵组成 3 个特别行动队：第一队包含士兵 1 和士兵 2，第二队包含士兵 3，第三队包含士兵 4。特别行动队的初始战斗力分 别为 4, 3, 4，修正后的战斗力分别为 4, 1, 4。修正后的战斗力和为 9，没有其它 方案能使修正后的战斗力和更大。

输入输出格式

输入格式：

输入由三行组成。第一行包含一个整数 n，表示士兵的总数。第二行包含三 个整数 a, b, c，经验公式中各项的系数。第三行包含 n 个用空格分隔的整数 $x_1, x_2, …, x_n$，分别表示编号为 1, 2, …, n 的士兵的初始战斗力。

输出格式：

输出一个整数，表示所有特别行动队修正后战斗力之和的最大值。 

输入输出样例

输入样例#1：

4 
-1 10 -20 
2 2 3 4 

输出样例#1：

9

说明

20%的数据中，n ≤ 1000；

50%的数据中，n ≤ 10,000；

100%的数据中，1 ≤ n ≤ 1,000,000，–5 ≤ a ≤ –1，|b| ≤ 10,000,000，|c| ≤ 10,000,000，1 ≤ xi ≤ 100。

 

斜率DP pro 2。相比上一题，本蒟蒻感觉这题水多了，只是调了一下才A。

设f[i]为前i个人的战斗力最大值，s[i]为前i个人战斗力的和。易得：

f[i]=max{f[j]+a(s[i]-s[j])^2+b(s[i]-s[j])+c}(j<i)

=max{f[j]+as[i]^2-2as[i]s[j]+as[j]^2+bs[i]-bs[j]+c}

设X[i]=as[i]^2，Y[i]=bs[i]，则原式

=max{f[j]+X[i]-2as[i]s[j]+X[j]+Y[i]-Y[j]+c}

设P[i]=X[i]+Y[i]，Q[i]=X[i]-Y[i]，则原式

=max{f[j]+P[i]+Q[i]-2as[i]s[j]+c}

则f[i]=?f[j]+P[i]+Q[i]-2as[i]s[j]+c

则在这个式子里，y=f[j]+Q[j]，k=2as[i]，x=s[j]，b=f[i]-P[i]-c，且y=kx+b。

由于是取max，所以是维护一个上凸包，所以维护一个斜率只降不升的单调队列就可以了。

其中每个点的坐标为(xi,yi)=(s[i],f[i]+Q[i])（可以从最后那个x和y的表达式看出来）。

code：

 1 %:pragma GCC optimize(2)
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 #define sqr(x) ((x)*(x))
 4 #define LL long long
 5 using namespace std;
 6 const int N=1000005;
 7 const double inf=1e18;
 8 int n,l,r; LL A,B,C,ratio,s[N],X[N],Y[N],P[N],Q[N],f[N];
 9 struct point {
10     LL x,y;
11     point() {}
12     point(LL _x,LL _y):x(_x),y(_y) {}
13 }st[N];
14 inline int read() {
15     int x=0,f=1; char ch=getchar();
16     while (ch<‘0‘||ch>‘9‘) f=(ch==‘-‘)?-1:1,ch=getchar();
17     while (ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) x=x*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
18     return x*f;
19 }
20 double slope(point u,point v) {
21     return u.x==v.x?(u.y<v.y?inf:-inf):1.0*(v.y-u.y)/(v.x-u.x);
22 }
23 LL get(LL k) {
24     while (l<r&&slope(st[l],st[l+1])>1.0*k) l++;
25     return st[l].y-k*st[l].x;
26 }
27 void insert(point cur) {
28     while (l<r&&slope(st[r-1],st[r])<slope(st[r-1],cur)) r--;
29     st[++r]=cur;
30 }
31 int main() {
32     n=read(),A=read(),B=read(),C=read(),ratio=A*2,s[0]=0;
33     for (int i=1; i<=n; i++) s[i]=s[i-1]+read();
34     for (int i=1; i<=n; i++) X[i]=A*sqr(s[i]);
35     for (int i=1; i<=n; i++) Y[i]=B*s[i];
36     for (int i=1; i<=n; i++) P[i]=X[i]+Y[i];
37     for (int i=1; i<=n; i++) Q[i]=X[i]-Y[i];
38     l=1,r=0,st[++r]=point(0,0);
39     for (int i=1; i<=n; i++) {
40         f[i]=get(ratio*s[i])+P[i]+C;
41         insert(point(s[i],f[i]+Q[i]));
42     }
43     printf("%lld\n",f[n]);
44     return 0;
45 }

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