Python算法题——青蛙跳台阶

Posted 2020-11-15 我不要你觉得

　　题目一（青蛙跳台阶）：

　　一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

　　分析：

　　假设只有一级台阶，则总共只有一种跳法；

　　假设有两级台阶，则总共有两种跳法；

　　假设有n级台阶，那么第一步就要分为跳一步和跳两步：

　　跳一步，那么接下来就是跳n-1；

　　跳两步，那么接下来就是跳n-2；

　　所以，总数可以认为是f(n-1)+f(n-2)。

　　主要代码：

　　def frog(num):

　　　　if num <= 2:
　　　　　　return num
　　　　t1, t2 = 1, 2
　　　　for _ in range(3, num+1):
　　　　　　t1, t2 = t2, t1+t2
　　　　return t2

 

　　题目二（变态跳台阶）： 

　　一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级......它也可以跳上n阶。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

　　分析：

　　相比之前的跳台阶，这次可以从任意台阶跳上n级，所以总体来看与上一个问题差不多，只不过递归公式应该是各个台阶之和再加上直接跳上去的情况，所以总数应该是f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+...+f(2)+f(1)=2**n-1。

　　主要代码：

　　def frog(num):

　　　　if num==0:

　　　　　　return 0

　　　　return 2**(num-1)

　　拓展问题（矩形覆盖）：

　　我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

　　分析：

　　这个问题实际上就是普通的跳台阶问题，只不过说法不一样而已。

　　假设n=1，则只有一种方法；

　　假设n=2，则共有两种方法；

　　假设n=3，则分为两种情况：

　　第一次用一个矩形竖着覆盖（左图阴影），则剩下共有2（n-1）种方法

　　第二次用一个矩形横着覆盖（右图蓝色），那么下方区域只剩下图示一种方法，所以剩下1（n-2）种方法

 

　　最后可以看出求矩形覆盖问题和求青蛙跳台阶问题的通式是一样的，它们都符合斐波那契数列的通式，即f(n-1)+f(n-2)

 

　　主要代码：

　　def rectangle(num):

　　　　if num <= 2:
　　　　　　return num
　　　　t1, t2 = 1, 2
　　　　for _ in range(3, num+1):
　　　　　　t1, t2 = t2, t1+t2
　　　　return t2

　　通过这几个题目我们可以看出，其实很多题目都有共通之处，甚至有些题目的变题会更简单，所以我们需要从平时开始积累，日积月累下来，我们见识过的题目多了，自然而然写代码的水平就上去了。