AGC002E Candy Piles

Posted 2023-04-22 yllcm

不会推结论？使用数据结构！

尝试考虑 \\(n=1,n=2,n=3\\) 的必败必胜条件，寻找一些结论，但是发现即使是 \\(n=3\\) 胜负情况已经有些不可描述了，说明我们必须尝试转化问题的形式。

注意到操作是全局减，常见的转化是差分，但是差分后的操作仍然没有优秀的性质。

继续思考，可以得到一个恰当的转化：注意到游戏结束当且仅当最大值 \\(\\leq 0\\)，那么可以维护两个数 \\(now,x\\)，每次可以选择 \\(now\\gets now-1,x\\gets x+1\\)，若状态满足 \\(a_now\\leq x\\) 则为必胜态。那么问题转化为一个网格游走问题，每次可以向左或者向上，边界为必胜态。

画图可以发现状态是有规律的但是我没有看出来，所以考虑按列考虑，维护出每列的状态，考虑一些简单的情况：

• \\(a_2=6,a_1=4\\)，发现 \\(x=3\\) 和 \\(x=4\\) 会有两个连续的必胜态，其余状态必胜和必败相间分布。
• \\(a_i+1=7,a_i=6\\) 且 \\(x=3,x=4\\) 有两个连续的必胜态，发现转移后 \\(x=2,x=3\\) 有两个连续的必胜态，其余状态必胜和必败相间分布。
• \\(a_i+1=8,a_i=6\\) 且 \\(x=3,x=4\\) 有两个连续的必胜态，发现转移后 \\(x=2,x=3\\) 以及 \\(x=5,x=6\\) 有两个连续的必胜态，其余状态必胜和必败相间分布。
• \\(a_i+1=8,a_i=6\\) 且 \\(x=5,x=6\\) 有两个连续的必胜态，转移后所有状态必胜和必败相间分布。

归纳可得规律：

• 若 \\(a_i+1\\) 和 \\(a_i\\) 奇偶性相同。
  • 若 \\(x=a_i,x=a_i-1\\) 处不是连续必胜态，会在 \\(x=a_i,x=a_i-1\\) 两个位置插入连续必胜态，并平移其它状态。
  • 否则，会删除这两个连续必胜态，并平移其它状态。
• 若 \\(a_i+1\\) 和 \\(a_i\\) 奇偶性不同，则平移其它状态。

使用支持单点加，单点删，全局加的数据结构维护即可，下面使用了 set，复杂度 \\(\\mathcalO(n\\log n)\\)。

https://atcoder.jp/contests/agc002/submissions/40819016

@atcoder - AGC002E@ Candy Piles

目录

• @description@
• @solution@
• @accepted code@
• @details@

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@description@

给定 N 堆糖果，第 i 堆包含 ai 个糖果。

现在两人进行博弈。有两种操作选择：
（1）吃掉包含最多糖果的糖果堆。
（2）每堆吃掉一颗。

吃掉最后一颗糖的人判输，问谁必胜？

原题传送门。

@solution@

将 n 个数从大到小排好序，看成一个 n 列的直方图，第 i 列包含 a‘i 个格子。

举个例子：对于 5 5 3 2 1 1，可以建立直方图如下：
o o
o o
o o o
o o o o
o o o o o o

那么相当于有一个棋子从 (1, 1) 出发，玩家可以将棋子右/上移一步，走出边界的判输。

然后经过万能的打表找规律，我们可以发现如果 (x, y) 和 (x + 1, y + 1) 同时存在，则两者的 np 状态。
不过这个结论利用反证法倒是不难证就是了。。。

于是我们可以先移动到一个点 (x, y) 使得 (x + 1, y + 1) 不存在，注意到从 (x, y) 只能一路向上或右，两种情况都判一判即可。

@accepted code@

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 100000;

bool cmp(int x, int y) {return x > y;}

int a[MAXN + 5], N;
int main() {
    scanf("%d", &N);
    for(int i=1;i<=N;i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    sort(a + 1, a + N + 1, cmp);
    for(int i=1;i<=N;i++) {
        if( a[i + 1] < i + 1 ) {
            int p = (a[i] - i) % 2, q;
            for(int j=i;j<=N+1;j++)
                if( a[j] < i ) {
                    q = (j - i - 1) % 2;
                    break;
                }
            puts(p & 1 || q & 1 ? "First" : "Second");
            break;
        }
    }
}

@details@

这是什么神仙操作.jpg。

我怎么觉得 E 比 F 难。F 题我好歹会切，E 题完全没有办法。