Arrange the Numbers UVA

Posted 2023-04-20 towboa

求 1∼n 的排列 A 中，满足前 m 个数中，刚好有 K 个数使得 A[ i ]=i 的 AA 的个数。

 

错位排列

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
#define int long long
 int c[1002][1002], F[1002] ;
 void init() 
 	int i,j;
 	c[1][1]=1;
 	for(i=0;i<=1000;i++)  c[i][0]=1;
 	for(i=2;i<=1000;i++)
 	 for(j=1;j<=i;j++)
 	 	c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j],c[i][j]%=mod;
 	 	
 	F[0]=1;for(i=1;i<=1000;i++) F[i]=F[i-1]*i,F[i]%=mod;
 
 int E(int n,int m)
 	int t= 0;
 	for(int i=0;i<=m;i++)
 		if(i%2==0)
 			t=(t+c[m][i]*F[n-i]%mod),t%=mod;
 		else
 			t=(t-c[m][i]*F[n-i]%mod+mod)%mod;
 	
 	return t;
 
 void sov(int cas)
 	int n,m,K;
 	cin>>n>>m>>K;
 	cout<<"Case "<<cas<<": "<< 
 	c[m][K]*E(n-K,m-K)%mod<<endl;
 
 signed main()
 	init();
 	int tes;cin>>tes;
 	int cas=0;
 	while(tes--) sov(++cas); 
 
 
 

 

lightoj 1095 - Arrange the Numbers（dp+组合数）

题目链接：http://www.lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1095

 

题解：其实是一道简单的组合数只要推导一下错排就行了。在这里就推导一下错排

dp[i]=(i-1)*dp[i-2]（表示新加的那个数放到i-1中的某一个位置然后那个被放位置的数放在i这个位置就是i-2的错排）+(i-1)*dp[i-1]（表示新加的那个数放到i-1中的某一个位置然后用那个位置被占的数代替i这个位置的数就是i-1的错排）

 

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 1e3 + 10;
ll dp[M];
ll up[M] , down[M];
ll inv(ll a) {
    return a == 1 ? 1 : (ll)(mod - mod / a) * inv(mod % a) % mod;
}
void fk() {
    dp[0] = 1 , dp[1] = 0 , dp[2] = 1;
    for(int i = 3 ; i < M ; i++) dp[i] = (i - 1) * ((dp[i - 1] + dp[i - 2]) % mod) , dp[i] %= mod;
}
ll C(ll n , ll m)
{
    if(m < 0)return 0;
    if(n < m)return 0;
    if(m > n-m) m = n-m;
    ll up = 1, down = 1;
    for(ll i = 0 ; i < m ; i++){
        up = up * (n-i) % mod;
        down = down * (i+1) % mod;
    }
    return up * inv(down) % mod;
}
int main() {
    fk();
    int t , Case = 0;
    scanf("%d" , &t);
    while(t--) {
        int n , m , k;
        scanf("%d%d%d" , &n , &m , &k);
        ll ans = 0;
        ll gg = C(m , k);
        up[0] = 1 , down[0] = 1;
        for(int i = 1 ; i <= (n - m) / 2 ; i++) up[i] = up[i - 1] * ((n - m) - i + 1) % mod , down[i] = down[i - 1] * i % mod;
        for(int i = (n - m) / 2 + 1 ; i <= (n - m) ; i++) up[i] = up[(n - m) - i] , down[i] = down[(n - m) - i];
        for(int i = n - k ; i >= (m - k) ; i--) {
            ans += dp[i] * (up[n - k - i] * (inv(down[n - k - i]) % mod) % mod);
            ans %= mod;
        }
        ans *= gg;
        ans %= mod;
        printf("Case %d: %lld\n" , ++Case , (ans + mod) % mod);
    }
    return 0;
}