牛顿迭代法求方程根

Posted 2023-04-19 bzsc

一、问题描述：

二、设计思路：

1，在1附件任意取一个实数作为x1的初值，例如取x=1.5

2，把x=1.5带入方程，算出f函数和f函数的导数fd的值

3，利用公式h=f/fd 求出增量

4，用牛顿迭代公式计算下一个x的值  x=x1-h

5，用新产生的x替换调原来的x1，为下一次迭代做好准备

6，如果|x-x1|>=1e-5，则返回第3步，否则转到第7步

7，所求x就是方程的根，直接输出

三、程序流程图:

 

四、代码实现：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()

    float a,b,c,d;//定义四个系数
    float x;//x代表求的的方程根
    float solution(float a,float b,float c,float d);
    scanf("%f%f%f%f",&a,&b,&c,&d);
    x=solution(a,b,c,d);//传参a,b,c,d进函数
    printf("所求方程的根为x=%f",x);
    return 0;

float solution(float a,float b,float c,float d)
    
    float x1,x=1.5,f,fd,h;//先取一个x的值来带入
    while(fabs(x-x1)>=1e-5)
    
        x1=x;//用所求得的x代替x1原来的值，用新产生的x替换原来的x1，为下一次迭代做准备
       f=a*x1*x1*x1+b*x1*x1+c*x1+d;//代表f函数的值
       fd=3*a*x1*x1+2*b*x+c;//代表f函数求导后的值
        h=f/fd;//计算增量
        x=x1-h;//牛顿迭代公式
    
    return x;
    

 五、总结：

编写程序时要注意的一点是判定|x-xo|>=1e-5， 许多初学者认为判定条件应该是|x-xo|<1e-5,从牛顿迭代法的原理可以看出，迭代的实质就是越来越接近方程根的精确值,最初给x所赋初值与根的精确值是相差很多了，正是因为这个我们才需要不断地进行迭代，也就是程序中循环体的功能。在经过一番迭代之后所求得的值之间的差别也越来越小，直到求得的某两个值的差的绝对值在某个范围之内时，便可结束迭代。若我们把判定条件改为|x-xo|<le-5,则第1次的判断结果必为假，这样就能不进入循环体再次执行

还是很有难度的一道题，多学多练，把复杂的步骤用变量一个一个表示出来要好做些

 

C语言每日一练——第154天：牛顿迭代法求方程根

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今天是C语言每日一练，第154天！

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文章目录

• 1. 问题描述
• 2. 题目分析
• 3. 算法设计
• 4. 确定程序框架
• 5. 迭代法求方程根
• 6. 代码实现

1. 问题描述

编写用牛顿迭代法求方程根的函数。
 
方程为 $a{x}^2+b{x}^2+cx+d=0$，系数a，b，c，d 由主函数输入。
 
求 $x$ 在 $1$ 附近的一个实根。求出根后，由主函数输出。
 
牛顿迭代法的公式是：$-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$ ，设迭代到 $|x-x_0|\le 10^{-5}$ 时结束。

2. 题目分析

牛顿迭代法是取 $x_0$ 之后，在这个基础上，找到比 $x_0$ 更接近的方程的根，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似根。
 
设 $r$ 是 $f(x)=0$ 的根，选取 $x_0$ 作为 $r$ 初始近似值。
 
过点 $(x_0,f(x_0))$ 作为曲线 $y=f(x)$ 的切线 $L$，
 
$L$ 的方程为 $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\ast (x-x_0)$，
 
求出 L 与 x 轴交点的横坐标 $x_1=x_0-f(x_0)/f^{\prime }(x_0)$，称 $x$ 为 $r$ 的一次近似值，
 
过点 $(x_1,f(x_1))$ 作为曲线 $y=f(x)$ 的切线，并求该切线与 x 轴的横坐标 $x_2=x_1-f(x_1)/f^{\prime }(x_1)$，称 $x_2$ 为 $r$ 的二次近似值，
 
重复以上过程，得 $r$ 的近似值 $x_n$。
 
上述过程即为牛顿迭代法的求解过程。

3. 算法设计

程序流程分析👇
 
(1) 在 $1$ 附近找任一实数作为 $x_0$ 的初值，我们取 $1.5$，即 $x_0=1.5$
 
(2) 用初值 $x_0$ 代入方程中计算此时的 $f(x_0)$ 及 $f^{\prime }(x_0)$；程序中用变量 $f$ 描述方程的值，用 $fd$ 描述方程求导之后的值。
 
(3) 计算增量 $h=f/fd$。
 
(4) 计算下一个 $x:x=x_0-h$。
 
(5) 用新产生的 $x$ 替换原来的 $x_o$，为下一次迭代做好准备。
 
(6) 若 $|x-x_0|>=1e-5$，则转到第 (3) 步继续执行，否则转到步骤 (7)。
 
(7) 所求 $x$ 就是方程 $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ 的根，将其输出。
 
本程序的编写既可用 while，也可用 do...while，二者得到的结果是一样的，只是在赋初值时稍有不同。
 
while 结构需要先判定条件，即先判断 $|x-x_0|>=1e-5$ 是否成立，这样对于 $x$，$x_0$ 我们要在 $1$ 附近取两个不同的数值作为初值；
 
do...while 结构是先执行一次循环体，得到 $x$ 的新值后再进行判定，这样程序开始只需给 $x$ 赋初值。
 
这里我们采用 do...while 结构来实现。

4. 确定程序框架

程序的主体结构如下👇

由于程序中用到了绝对值函数 fabs() ， 所以在程序的开始要加上头文件#include <math.h>。

流程图如下所示👇

5. 迭代法求方程根

编写程序时要注意的一点是判定 ∣ x − x

以上是关于牛顿迭代法求方程根的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

C语言每日一练——第154天：牛顿迭代法求方程根

牛顿迭代法求方程根

newton迭代法可以用matlab求非线性方程方程的全部根吗？？一次就求出全部根吗？？

用牛顿迭代法求根。方程为ax^3+bx^2 +cx+d=0,系数a,b,c,d的值依次为1,2,3,4,由主函数输人。求x在1附近的一个实根。求出根后由主函数输出

牛顿迭代法的牛顿迭代公式

什么是“牛顿法”或“牛顿迭代法”? 请简述过程及原理,有例子更好