非递归全排列 python实现

Posted 2020-11-03 黯然居

python algorithm

全排列（Permutation）

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排列（英语：Permutation）是将相异物件或符号根据确定的顺序重排。每个顺序都称作一个排列。例如，从一到六的数字有720种排列，对应于由这些数字组成的所有不重复亦不阙漏的序列，例如4, 5, 6, 1, 2, 3 与1, 3, 5, 2, 4, 6。【From Wikipedia】
从n个相异元素中取出 k个元素，k个元素的排列数量为：

\[ {P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}} \]

其中P意为Permutation（排列），!表示阶乘运算。全排列而取k为n,则结果为n!。

全排列生成算法

1. 字典序法

   字典序，就是将元素按照字典的顺序（a-z, 1-9）进行排列。以字典的顺序作为比较的依据，可以比较出两个串的大小。比如 "1" < "13"<"14"<"153"， 就是按每个数字位逐个比较的结果。对于一个串“123456789”， 可以知道最小的串是“123456789”，而最大的串“987654321”。这样针对这个串以字典序法生成全排列生成全排列，就是依次生成“123456789”->“123456798”->......->"987654312"->"987654321"这样的串。字典序法要求这一个与下一个有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后缀上。

2. 邻位对换法

   该算法由Johnson-Trotter首先提出，是一个能快速生成全排列的算法。它的下一个全排列总是上一个全排列对换某相邻两位得到的。如果已知n-1个元素的排列，将n插入到排列的不同位置，就得到了n个元素的排列。用这种方法可以产生出任意n个元素的排列。这个方法有一个缺点：为了产生n个元素的排列，我们必须知道并存储所有n-1个元素的排列，然后才能产生出所有n阶排列。

3. 递增进位制法

   这个算法是基于序列的递增进位制数[3]。递增进位制数是指数字的进制随着位数的递增而递增。一般情况下，数字最右边的进制是2，次右边的进制是3，以此类推。n位递增进位制数一共包含n!个数字，所以它可以与全排列生成算法结合在一起。

4. 递减进位制法

该方法与递增进位制法的原理相似，不同的是它定义的“递减进位制数”是数字的进制随着位数的递增而递减。这种进制一般最左边的进制是2，次左边的进制是3。其余原理与递增进位制法基本相同。
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###Python实现

#####字典序法
###### 非递归算法

设P是集合{1，2，……n-1，n}的一个全排列：P=P1P2……Pj-1PjPj+1……Pn（1≤P1，P2，……，Pn≤n-1）
1.从排列的右端开始，找出第一个比右边数字小的数字的序号j，即j=max{i|Pi<Pi+1,i>j}在Pj的右边的数字中，
找出所有比Pj大的数字中最小的数字Pk，即k=min{i|Pi>Pj，i>j}
2.交换Pi，Pk

3.再将排列右端的递减部分Pj+1Pj+2……Pn倒转，因为j右端的数字是降序，所以只需要其左边和右边的交换，直到中间，因此可以得到一个新的排列P‘=P1P2……Pj-1PkPn……Pj+2Pj+1
###### 代码

#!/usr/bin/env python2
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
@author: gsharp
"""
def Swap(n,a,b):
    n[a],n[b] = n[b],n[a]
    return None
def Reverse(n,begin):
    if len(n) > begin:
        i = begin
        j = len(n)-1
        while i < j:
            Swap(n,i,j)
            i += 1
            j -= 1
    return n

def FindMin(n,i):
    j = len(n)-1
    k = i + 1
    while j > i:
        if n[j] > n[i] and n[j] < n[k]:
            k = j
        j -= 1
    return k

def Permut(n):
    count = 0
    j = len(n) -1  
    if j < 1:
        return n
    else :
        print n
        count += 1
        while j >= 1:
            i = j - 1
            if n[i] < n [j] :
                k = FindMin(n,i)
                Swap (n,i,k)
                Reverse (n,j)
                j = len(n) - 1
                count += 1
                print n
            else :
                j -= 1
    print count

n =[1,2,3,4,5,6]
Permut(n)

注意:

1. 这里只能对于具有可比较值的列表排序，对于如【‘～‘，‘！‘，‘@‘，‘#‘】无法直接排序。
2. 初始序列必须为最小序列，否则无法列出全部排列。可先使用快速排序来排序后作为输入。