方向导数

Posted 2023-04-14 LZSY01_XZY

方向导数

一阶方向导数

方向导数的定义

对函数\\(f:v\\to \\mathbbR\\)，记\\(f_\\bm v:t\\to f(\\bm x+t\\bm v)\\)，若\\(f_\\bm v\\)对\\(t\\)的微分在\\(t=0\\)处存在，那么可定义\\(f\\)在\\(\\bm x\\)处沿向量\\(\\bm v\\)的方向导数为

\\[\\mathrmD_\\bm vf(\\bm x)=\\dfrac\\partial f\\partial \\bm v=\\frac\\mathrmdf_\\bm v\\mathrmdt\\bigg|_t=0=\\lim_t\\to 0\\dfracf(\\bm x+t\\bm v)-f(\\bm x)t\\\\ \\]

方向导数的性质

• \\(\\mathrmD_\\bm v(f+g)=\\mathrmD_\\bm vf+\\mathrmD_\\bm vg\\)
• \\(\\mathrmD_\\bm v(cf)=c\\mathrmD_\\bm vf\\)
• \\(\\mathrmD_\\bm v(fg)=g\\mathrmD_\\bm vf+f\\mathrmD_\\bm vg\\)
• \\(h:\\mathbbR\\to\\mathbbR,g:v\\to \\mathbbR\\)，则\\(\\mathrmD_\\bm v(h\\circ g)(\\bm x)=h\'(g(\\bm x))\\mathrmD_\\bm vg(\\bm x)\\)

如果 \\(f\\) 在 \\(\\bm x\\) 处可微，则沿着任意非零向量 \\(\\bm v\\) 的方向导数都存在，且

\\[\\mathrmD_\\bm vf(\\bm x)=\\mathrmdf(\\bm v)|_\\bm x=\\bm v\\cdot\\nabla f(\\bm x)\\\\ \\]

其中 \\(\\mathrmdf|_\\bm x\\) 表示 \\(\\bm x\\) 处的全微分

方向导数与偏导数

对于 \\(f:U\\subset\\mathbbR^n\\to\\mathbbR\\)，由于 \\(\\dfrac\\partial f\\partial \\bm v=\\bm v\\cdot \\nabla f\\) ，而

\\[\\nabla f=\\beginpmatrix\\dfrac\\partial f\\partial x_1&\\dfrac\\partial f\\partial x_2&\\cdots&\\dfrac\\partial f\\partial x_n\\endpmatrix^T \\]

则

\\[\\dfrac\\partial f\\partial \\bm v=v_1\\dfrac\\partial f\\partial x_1+v_2\\dfrac\\partial f\\partial x_2+\\cdots+v_n\\dfrac\\partial f\\partial x_n\\\\ \\]

二阶方向导数

二阶方向导数的定义

记 \\(g=\\dfrac\\partial f\\partial \\bm v\\)，则 \\(\\dfrac\\partial g\\partial \\bm v\\)指 \\(f\\) 沿\\(\\bm v\\)方向的二阶方向导数，记为 \\(\\mathrmD_\\bmv^2 f(\\bmx)\\) 或 \\(\\dfrac\\partial^2 f\\partial \\bmv^2(\\bmx)\\)。同时，记\\(\\dfrac\\partial g\\partial \\bm u\\)为 \\(\\dfrac\\partial^2 f\\partial \\bm v\\partial \\bm u\\)

二阶方向导数的性质

1. 如果 \\(f\\) 在 \\(\\bmx\\) 处可二阶微分，那么 \\(\\mathrmD_\\bmv^2 f(\\bmx)\\) 存在

2. \\(\\mathrmD_\\bmv^2 f(\\bmx)\\) 是一个标量

3. 如果 \\(f\\) 在 \\(\\bmx\\) 处的二阶偏导数连续，那么 \\(\\mathrmD_\\bmv^2 f(\\bmx)\\) 也连续

4. 如果 \\(f\\) 在 \\(\\bmx\\) 处的二阶偏导数存在，那么 \\(\\mathrmD_\\bmv^2 f(\\bmx) = \\bmv^T \\boldH_f(\\bmx) \\bmv\\)，其中 \\(\\boldH_f(\\bmx)\\) 是 \\(f\\) 在 \\(\\bmx\\) 处的 \\(\\textHessian\\) 矩阵

二阶方向导数与二阶偏导数的关系

\\[\\beginalignedg=\\dfrac\\partial f\\partial \\bm v&=(\\nabla f)^T\\bm v\\\\&=\\beginbmatrix\\dfrac\\partial \\partial x_1&\\dfrac\\partial \\partial x_2&\\cdots&\\dfrac\\partial\\partial x_n\\endbmatrixf\\bm v\\endaligned \\]

\\[\\beginaligned\\dfrac\\partial g\\partial \\bm v&=\\bm v\\cdot\\nabla g\\\\&=\\bm v^T\\beginbmatrix\\dfrac\\partial\\partial x_1\\\\\\dfrac\\partial \\partial x_2\\\\\\vdots\\\\\\dfrac\\partial \\partial x_n\\endbmatrixg\\\\&=\\bm v^T\\beginbmatrix\\dfrac\\partial\\partial x_1\\\\\\dfrac\\partial \\partial x_2\\\\\\vdots\\\\\\dfrac\\partial \\partial x_n\\endbmatrix\\beginbmatrix\\dfrac\\partial \\partial x_1&\\dfrac\\partial \\partial x_2&\\cdots&\\dfrac\\partial\\partial x_n\\endbmatrixf\\bm v\\\\&=\\bm v^T\\bold H\\bm v\\endaligned \\]

•  任何一个伟大的思想，都有一个微不足道的开始。

•  三年OI一场空，三道神题见祖宗

•  竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？一蓑烟雨任平生。

•  回首向来萧瑟处，归去，也无风雨也无晴。

函数的偏导数,方向导数和梯度怎么计算

函数的偏导数,方向导数和梯度怎么计算？小弟自考生一枚，求详细的计算过程。如有这方面的资料的话，希望能发我一份，邮件、链接均可，万分感谢。

1、当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。

方向导数和梯度计算方法如下图：

扩展资料：

偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时，求导的结果与先后次序无关。

参考技术A

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