网络理论的最大流量问题

Posted 2023-04-13

参考技术A

当物质流或信息流通过给定的网络时（图1）,在流过每条边的流量xij不超过该边允许通过的流量cij的条件下,求出从发点s向收点t输出的最大流量f，即在满足的条件下,使f最大。最大流量问题是一个特殊的线性规划问题，有许多求解方法。一种有效的计算方法是福特-富尔克森法，它是根据最大流量-最小割集原理，通过标号算法，求出在上述约束条件下从发点s到收点t的最大流量f 的数值。其计算步骤如下：①绘制一个能满足上述约束条件的网络可行流（图2）。边上的数字为允许流量cij，括号内的数字为给定的可行流。②找出一条增广链。增广链是指从发点s到收点t的链中，满足正向边上xij<cij和反向边上xji>0的链。图2中用粗线表示的vs，v2,v3,v4,v6,vt 是一条增广链。其中【v2,v3】为反向边,其余均为正向边。③调整可行流,即在增广链的各边上,属正向边加上一个修正量ε,属反向边减去一个修正量ε,即xij+εj，xji-εj。εj值由下式决定:当xij<cij时

网络最大流入门

前言

网络最大流是网络流中最基础也是最重要的部分，后边的许多模型也都是由最大流问题引申而来的

最大流

在研究这个问题之前，让我们先来学习一下前置知识

 

可行流

设$f(u,v)$表示边$(u,v)$的当前容量上限

设$c(u,v)$表示边$(u,v)$的最大容量上限

如果网络流图中的流量满足

• 源点$S$：流出量$=$流量总量
• 汇点$T$：流入量$=$流量总量
• 任意边$(u,v)$：$0<=f(u,v)<=c(u,v)$

则称该流为一个可行流

增广

增广：即增加一条路径上的流量

增加一条路径的流量，即减少这条路径的当前流量上限，即$f(u,v)$的值

增广是我们求解最大流的基础

最大流

定义：在所有可行流中流量最大的流

那么我们如何求解这个东西呢？

 

很显然的一种思路就是找到整个网络中的容量上限最小的边

增广(就是加流量)这条路径，不断的重复

 

暂且不说这么做时间复杂度如何

我们先考虑一下它的正确性。

这么做貌似很有道理，

但是！

以上图为例，如只是无脑增广的话，很可能对SABT这条边进行增广，而增广完这条边后，就再也没有可以增广的路径了，求出的最大流为$3$，下图为增广后的网络流图

 

很显然，这么做是错的，因为我们可以分别增广$SAT$，$SBT$这两条路径，得到的流量为$6$

那怎么解决这个问题呢？

 

我们需要引入一个非常重要的概念——反向边

例如，对于$SA$这条容量为$3$的边，我们可以认为存在一条容量为$0$的边$AS$与之对应，对于$SA$进行增广，即减小它的容量上限，相当于增大$AS$的容量上限

也就是说，我们允许从$SA$流出的流量倒流回去，给它一个悔改的机会

 

这样，对于上图而言，我们可以借助反向边来更改自己的错误操作，建立反向边后的图如下图所示

 

这样我们便又有了一条新的增广路$SBAT$，对这条路径进行增广后我们便可以得到网络最大流为$5$

 

考虑一下，为什么这样是对的？

 

原因很简单，造成我们刚开始做出错误决策的边为$AB$，最大流本不应经过这里，但是我们却无脑的经过了这里

因为反向边$BA$的存在，我们又把从$A$流向$B$的流量给退了回去。这就相当于没有经过$AB$这条边

 

（本节以下内容读者可以直接略过，属于本蒟蒻瞎扯，可能把读者带到沟里面，目前已有一人受害）

反向弧到这里本就应该结束了，但是本蒟蒻在学习的过程中一直有个问题不明白

为什么加反向弧是对的？

如果不考虑反向弧，我们选择的路径为$SAT$，$SBT$，但是加了反向弧之后我们的路径貌似不是这么选的啊。。

尤其是$AT$这条边的流量，本应该是从$SA$流过来，但实际是从$SB$流过来。

这样为什么是对的呢？

这个问题我思考了很长时间，最终得出了一个很不靠谱的结论

因为经过$AB$这条边的流量为$SA,AB,BT$的最小值，然后xjb分情况讨论一下，%……&*（）（）*&……%￥）（大概要分个一二十种情况吧，然后发现都是对的，其实就是各边之间的流量等效替代问题。。。）

看到这儿的同学，恭喜你们被带到坑里啦O(∩_∩)O哈哈~

实现

我目前见过的最大流算法有以下几种

1. EK（最简单，比较慢）
2. Dinic（最常见，性能良好）
3. ISAP/SAP（也比较常见，性能很好）
4. 最高标号预流推进(HLPP) （暂时还没学。。）
5. 前置重贴标签（什么鬼。。。）
6. 推送重贴标签（WTF......）

对于这些算法，博主给大家的建议是：

• 理解第一种方法，并用代码实现一次
• 熟练掌握第二种算法，深刻的理解其内涵，并能做到超级熟练的运用（起码5min之内要敲出来&&没有错误）
• 理解第三种算法，并至少运用一次。（因为第三种算法跑的比较快，所以可以用来抢排行榜$rank1$）
• 第四五六中算法建议大家理解其内涵，代码实现就无所谓了，因为基本用不到，不过学会了可以用来装13:joy:

 

另外，在书上看到过据说可以使用动态树优化最大流算法，但是把百度翻遍了也没找到代码。。。

如果您会的话欢迎教一下本蒟蒻，感激不尽

 

由于想讲的详细一些，所以想了一下把每个算法分开讲吧，我会尽快更新哒:grinning:

（最近这几天可能不太好办了，因为博主在外面学(bei)习(nue)，只有晚上才能更博客）