Burnside

Posted 2023-04-09 do_while_true

定义

群：\\((S,\\circ)\\)，集合\\(S\\) 和二元运算 \\(\\circ\\)，其中 \\(\\cdot\\) 满足：
封闭性；结合律；存在单位元 \\(e\\)；任意元素 \\(a\\) 存在逆元 \\(a^-1\\)．

若仅满足存在左单位元和左逆元，可证左右单位元/逆元唯一且相等。

交换群 / 阿贝尔群：满足交换律的群。

半群：运算仅要求封闭性和结合律。

幺半群：有幺元（单位元）的半群。

置换群：对于一个集合 \\(A\\)，若集合 \\(G\\) 中每个元素都是 \\(A\\) 到 \\(A\\) 的双射，则 \\(G\\) 为 \\(A\\) 上的置换群。

子群：群的子集，关于母群的运算成群。

Burnside 引理

lagrange 定理：群 \\(G\\) 的子群 \\(H\\) 一定满足 \\(|H|\\) 整除 \\(|G|\\)．

一些前置证明与陪集分解

自己编的证明，是不是最简单的证明不管了（

定义左陪集：\\(aH=\\ah|h\\in H\\\\)．

引理一：对于 \\(x\\in aH\\) 有 \\(xH=aH\\)（\\(xi=(aj)i=a(ji)=ak\\)）

根据引理一可以导出 \\(aH=bH\\Leftrightarrow a,b\\in aH\\)

引理二：\\(H\\) 和 \\(aH\\) 要不然同构，要不然不交。

若不满足，则以下两个命题均成立：

• \\(\\exist i\\in aH,i\\notin H\\)
• \\(\\exist j\\in aH,j\\in H\\)

根据引理一，\\(iH=jH=aH\\)；其中 \\(j\\in H\\) 则 \\(jH=H\\)（引理一的特殊形> 式，\\(a=e\\) 时）

那么 \\(iH=jH=aH=H\\)，则 \\(i,j,a\\in H\\)，与假设矛盾。引理二得证。

根据引理二，可得 \\(aH,bH\\) 要不然同构，要不然不交（等价于 \\(H\\) 和 \\(> (a^-1b)H\\)）。

\\(G\\) 是有限群，则存在正整数 \\(k\\) 使得 \\(G=a_1H\\cup a_2H\\cup > \\cdots\\cup a_kH\\)，且这 \\(k\\) 个陪集两两不交，则 lagrange 定理得证。

这个玩意叫陪集分解。

构造考虑当前已经有 \\(a_1H\\cup a_2H\\cup \\cdots\\cup a_iH\\subseteq G\\)，选取补集中任意一个元素作为下一个 \\(a\\) 即可。

轨道-稳定子定理

现在作用在 \\(S\\) 上有个置换群 \\(G\\)．

轨道：\\(x\\in S\\)，其轨道为 \\(O(x)=\\fx|f\\in G\\\\)，也就是在这个置换群作用下 \\(x\\) 的等价类。

稳定子：\\(x\\in S\\)，其稳定子为 \\(\\textStab(x)=\\f\\in G|f(x)=x\\\\)，也就是作用之后 \\(x\\) 不动的置换集合。容易验证其是 \\(G\\) 的一个子群。

轨道-稳定子定理：\\(G=|O(x)|\\cdot |\\textStab(x)|\\)，\\(x\\) 所在等价类的大小，乘上使 \\(x\\) 不动的置换个数。

考虑 \\(\\textStab(x)\\) 的陪集分解，然后就显然了（）而且还有同一等价类中的 \\(O\\) 和 \\(\\textStab\\) 均相等。

Burnside 引理

令 \\(F(g)\\) 为置换 \\(g\\) 作用下不动点构成的集合，则等价类个数（本质不同轨道数）为：

\\[\\frac1|G|\\sum_g\\in G|F(g)| \\]

让每个等价类中每个元素 \\(x\\) 贡献 \\(\\frac1|O(x)|=\\frac|\\textStab(x)||G|\\)，然后交换一下求和号即证。

所谓 Pólya 就是将 \\(F(g)\\) 写出来，也就是 \\(m^c\\)，其中 \\(m\\) 是颜色数，\\(c\\) 是 \\(g\\) 的置换环数。

与 exp 区分

注意区分 exp 和 burnside 的区别，如果拼接了若干个组合对象，它们之间没有顺序。对这个新的组合对象奇数，是用 exp 还是 burnside 呢？现在考虑一下拼接 \\(k\\) 个组合对象：

如果有标号，那么考虑将单个组合对象的 EGF \\(F\\) 直接 \\(k\\) 次幂，考虑答案的任意一种方案，其中每个组合对象之间都是有区分的，所以一共被算了 \\(k!\\) 次，那么确实是 \\(F^k/k!\\)，例子就是有标号无向图计数。

如果无标号，考虑 OGF \\(F\\) 直接 \\(k\\) 次幂，但是这个时候发现答案的各个方案，被算重的个数实际上是一个多重集的排列数，并不好算。这个时候就要用 burnside，例子就是烷基计数。

burnside引理&polya定理

burnside引理&polya定理

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1. 置换：

   置换即是将n个元素的染色进行交换，产生一个新的染色方案。

2. 群：

   一个元素的集合G与一个二元运算(*)构成一个群。群满足一下性质：

   1. 封闭性：(forall a,b in G,exists cin G ,c=a*b)

   2. 结合律：(forall a,b,c,(a*b)*c=a*(b*c))

   3. 单位元：(exists ein G,forall a,a*e=e*a=a)

   4. 逆元：(forall ain G,exists bin G,a*b=b*a=e,b=a^{-1})

3. 置换群：

   即对于置换的集合的群，其中的二元运算为置换的连接，即对一个染色方案置换后的方案进行置换。