如何用Python实现常见机器学习算法-3

Posted 2020-10-18 Freeman耀

三、BP神经网络

1、神经网络模型

首先介绍三层神经网络，如下图

输入层（input layer）有三个units（为补上的bias，通常设为1）

表示第j层的第i个激励，也称为单元unit

为第j层到第j+1层映射的权重矩阵，就是每条边的权重

所以可以得到：

隐含层：

输出层：

其中，S型函数，也成为激励函数

 可以看出为3✖️4的矩阵，为1✖️4的矩阵

==》j+1的单元数x（j层的单元数+1）

2、代价函数

假设最后输出的，即代表输出层有K个单元 

其中，代表第i个单元输出与逻辑回归的代价函数

差不多，就是累加上每个输出（共有K个输出）

3、正则化

L-->所有层的个数

-->第l层unit的个数

正则化后的代价函数为

共有L-1层，然后是累加对应每一层的theta矩阵，注意不包含加上偏置项对应的theta(0)

正则化后的代价函数实现代码：

 1 # 代价函数
 2 def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
 3     length = nn_params.shape[0] # theta的中长度
 4     # 还原theta1和theta2
 5     Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
 6     Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
 7     
 8     # np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=\',\')
 9     
10     m = X.shape[0]
11     class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
12     # 映射y
13     for i in range(num_labels):
14         class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
15      
16     \'\'\'去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始\'\'\'    
17     Theta1_colCount = Theta1.shape[1]    
18     Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
19     Theta2_colCount = Theta2.shape[1]    
20     Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
21     # 正则化向theta^2
22     term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))
23     
24     \'\'\'正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias\'\'\'
25     a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))      
26     z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))    
27     a2 = sigmoid(z2)
28     a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
29     z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
30     h  = sigmoid(z3)    
31     \'\'\'代价\'\'\'    
32     J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m   
33     
34     return np.ravel(J)

4、反向传播BP

上面正向传播可以计算得到J(θ)，使用梯度下降算法还需要求它的梯度

BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度

假设4层的神经网络，记为-->l层第j个单元的误差

没有，因为对于输入没有误差，因为S型函数的倒数为：

 

所以上面的和可以在前向传播中计算出来

反向传播计算梯度的过程为：

 

for i=1-m:

正向传播计算（l=2，3，4...L）

最后，即得到代价函数的梯度

代码实现：

 1 # 梯度
 2 def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
 3     length = nn_params.shape[0]
 4     Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
 5     Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
 6     m = X.shape[0]
 7     class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系    
 8     # 映射y
 9     for i in range(num_labels):
10         class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
11      
12     \'\'\'去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始\'\'\'
13     Theta1_colCount = Theta1.shape[1]    
14     Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
15     Theta2_colCount = Theta2.shape[1]    
16     Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
17     
18     Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape))  #第一层到第二层的权重
19     Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape))  #第二层到第三层的权重
20     
21     Theta1[:,0] = 0;
22     Theta2[:,0] = 0;
23     \'\'\'正向传播，每次需要补上一列1的偏置bias\'\'\'
24     a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
25     z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
26     a2 = sigmoid(z2)
27     a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
28     z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
29     h  = sigmoid(z3)
30     
31     \'\'\'反向传播，delta为误差，\'\'\'
32     delta3 = np.zeros((m,num_labels))
33     delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size))
34     for i in range(m):
35         delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:]
36         Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1))
37         delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:])
38         Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1))
39     
40     \'\'\'梯度\'\'\'
41     grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m
42     return np.ravel(grad)

5、BP可以求梯度的原因

实际是利用了链式求导法则

因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算

大体的推导过程如下，最终我们是想预测函数与已知的y非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。

求误差更详细的推导过程：

6、梯度检查

检查利用BP求的梯度是否正确

利用导数的定义验证：

求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近

验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了

代码实现

 1 # 检验梯度是否计算正确
 2 # 检验梯度是否计算正确
 3 def checkGradient(Lambda = 0):
 4     \'\'\'构造一个小型的神经网络验证，因为数值法计算梯度很浪费时间，而且验证正确后之后就不再需要验证了\'\'\'
 5     input_layer_size = 3
 6     hidden_layer_size = 5
 7     num_labels = 3
 8     m = 5
 9     initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size); 
10     initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels)
11     X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m)
12     y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y
13     
14     y = y.reshape(-1,1)
15     nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1)))  #展开theta 
16     \'\'\'BP求出梯度\'\'\'
17     grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size, 
18                      num_labels, X, y, Lambda)  
19     \'\'\'使用数值法计算梯度\'\'\'
20     num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0]))
21     step = np.zeros((nn_params.shape[0]))
22     e = 1e-4
23     for i in range(nn_params.shape[0]):
24         step[i] = e
25         loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, 
26                               num_labels, X, y, 
27                               Lambda)
28         loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, 
29                               num_labels, X, y, 
30                               Lambda)
31         num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e)
32         step[i]=0
33     # 显示两列比较
34     res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1)))
35     print res

7、权重的随机初始化

神经网络不能像逻辑回归那样初始化theta为0，因为若是每条边的权重都为0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。

所以应该初始化为接近0的数

代码实现

1 # 随机初始化权重theta
2 def randInitializeWeights(L_in,L_out):
3     W = np.zeros((L_out,1+L_in))    # 对应theta的权重
4     epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5
5     W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵
6     return W

8、预测

正向传播预测结果

代码实现

 1 # 预测
 2 def predict(Theta1,Theta2,X):
 3     m = X.shape[0]
 4     num_labels = Theta2.shape[0]
 5     #p = np.zeros((m,1))
 6     \'\'\'正向传播，预测结果\'\'\'
 7     X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
 8     h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1)))
 9     h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1))
10     h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))
11     
12     \'\'\'
13     返回h中每一行最大值所在的列号
14     - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
15     - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
16     \'\'\'
17     #np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=\',\')
18     p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0]))  
19     for i in np.arange(1, m):
20         t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i]))
21         p = np.vstack((p,t))
22     return p 

9、输出结果

梯度检查

随机显示100个手写数字

显示theta1权重

训练集预测准确度

归一化后训练集预测准确度