三角恒等变换

Posted 2023-04-05 closureshop

我觉得我三角函数会寄，于是稍微记一下这些公式。

为什么是下午而不是晚上呢？晚上我要被拉着去吃饭，不知道还有没有时间（而且我还想把铃芽之旅看掉啊啊）。

三角函数角和公式

\\[\\sin A+\\sin B=\\sin A\\cos B+\\sin B\\cos A \\]

\\[\\cos A+\\cos B=\\cos A\\cos B-\\sin A\\sin B \\]

\\[\\tan A+\\tan B=\\frac\\tan A+\\tan B1-\\tan A\\tan B \\]

三角函数差公式

\\[\\sin A-\\sin B=\\sin A\\cos B-\\sin B\\cos A \\]

\\[\\cos A-\\cos B=\\cos A\\cos B+\\sin A\\sin B \\]

\\[\\tan A-\\tan B=\\frac\\tan A-\\tan B1-\\tan A\\tan B \\]

以上六个公式建议直接背。。。第一，他们并不是很难背，第二，他们的证明很复杂（不然我干嘛不写啊喂）。

令上面和的三个公式中的 \\(A=B=\\alpha\\)，我们可以得到二倍角公式：

\\[\\sin2\\alpha =2\\sin\\alpha \\cos \\alpha \\]

\\[\\cos 2\\alpha =\\cos ^ 2\\alpha -\\sin ^ 2\\alpha \\]

\\[\\tan 2\\alpha=\\frac2\\tan \\alpha 1-\\tan ^ 2\\alpha \\]

这里需要额外注意第二个公式，由于我们有 \\(\\cos \\alpha ^2+\\sin\\alpha ^2=1\\)，所以我们可以任意消去其中一个得到：

\\[\\cos 2\\alpha =2\\cos ^ 2\\alpha -1 \\]

\\[\\cos 2\\alpha =1 -2\\sin ^ 2\\alpha \\]

这实际上向我们反应了二倍角与高幂角之间的关系。

回到正弦和公式。在有一些时候，我们想要把正弦余弦消掉一个，但我们可能只知道 作为系数的\\(\\cos B,\\sin B\\) 却不知道 \\(B\\) 的具体数值（甚至 \\(B\\) 有时根本不存在！）， 这时需要我们对正弦和公式进行小小的逆用。

例题：求 \\(\\sin A+\\cos A\\) 的范围。

如果只有一个 \\(\\sin\\) 是好做的，于是我们想到将一个变量与两个变量连接起来的正弦和公式。但是这里的 \\(B\\) 压根不存在，于是我们提出一个 \\(\\sqrt2\\) 可以得到：

\\(\\sqrt2(\\sin A\\frac1\\sqrt2+\\cos A\\frac1\\sqrt2)\\)

发现 \\(\\frac1\\sqrt2 = \\sin\\frac\\pi4 = \\cos \\frac\\pi4\\)，于是进行转换：

\\(\\sqrt2(\\sin A \\\\cos \\frac\\pi4+\\sin B\\cos \\frac\\pi4)\\)

发现后面是正弦和公式，于是直接转换后计算即可。

我们将解法扩展，现在我们想求 \\(A\\sin \\alpha + B\\sin \\alpha\\)，和上面的过程相似，我们可以得到其等于：

\\[\\sqrtA^2+B^2(\\sin\\alpha \\fracA\\sqrtA^2+B^2 + \\cos\\alpha\\fracB\\sqrtA^2+B^2) \\]

发现 \\(\\fracA\\sqrtA^2+B^2\\) 与 \\(\\fracB\\sqrtA^2+B^2\\) 刚好是一对正弦余弦，于是我们可以得出原式等于 \\(\\sqrtA^2+B^2\\sin(\\alpha+\\beta)\\)，其中 \\(\\sin \\beta = \\fracB\\sqrtA^2+B^2,\\cos \\beta = \\fracA\\sqrtA^2+B^2\\)。

显然，这个也可以做减法。但是我要下班了，于是先写到这里

三角函数诱导公式恒等变换公式

诱导公式

恒等变换公式