解数独（Python）

Posted 2020-10-17 PyLearn

采用解空间搜索的深度优先搜索（最小代价优先）加约束传播算法来解数独

0.目录

1.介绍

2.一些通用函数

3.全局变量（宏变量）

4.数独预处理（约束传播）

5.解数独（深度优先搜索+最小代价优先）

6.主函数

7.总代码

1.介绍

数独是一个非常有趣味性的智力游戏，数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的拉丁方阵（Latin Square）。
参与者需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个宫内的数字均含1-9，不重复。
一个数独谜题是由81个方块组成的网格。大部分爱好者把列标为1-9，把行标为A-I，把9个方块的一组（列，行，或者方框）称为一个单元，把处于同一单元的方块称为对等方块。谜题中有些方块是空白的，其他的填入了数字。
每个方块都属于3个单元，有20个对等方块。
当每个单元的方块填入了1到9的一个排列时，谜题就解决了。
本文采用解空间搜索的深度优先搜索（最小代价优先）加约束传播算法来解数独。
代码总体分为五个部分：
1.通用函数
2.全局变量（宏变量）
3.数独预处理（约束传播）
4.解数独（深度优先搜索+最小代价优先）
5.主函数

2.一些通用函数

import time

def cross(A, B):
    # 例如：A = \'ABC\', B = \'123\'
    # 则返回[\'A1\', \'A2\', \'A3\', \'B1\', \'B2\', \'B3\', \'C1\', \'C2\', \'C3\']
    return [a+b for a in A for b in B]

def arr_to_dict(A, B):
    # 例如：A = [\'A\', \'B\', \'C\'], B = [\'1\', \'2\', \'3\']
    # 则返回{\'A\': \'1\', \'B\': \'2\', \'C\': \'3\'}
    return dict(zip(A, B))

def str_to_arr(str_sudoku):
    # 传入：str_sudoku = \'4.....8.5.3..........7......2.....6.....8.4......1.......6.3.7.5..2.....1.4......\'
    # 返回[\'4\', \'.\', \'.\', \'.\', \'.\', \'.\', \'8\', ... , \'.\', \'.\']
    return [c for c in str_sudoku if c in cols or c in \'0.\']

def show_str_sudoku(str_sudoku):
    # 解析字符串形式的数独并展示
    for i, value in enumerate(str_sudoku):
        if i%3 == 0 and i%9 != 0:
            print(\'|\', end=\' \')
        print(value, end=\' \')
        if (i+1)%9 == 0:
            print()
        if i == 26 or i == 53:
            print(\'------+-------+------\')

def show_dict_sudoku(dict_sudoku):
    # 解析字典形式的数独并展示
    width = 1 + max(len(dict_sudoku[s]) for s in squares)
    line = \'+\'.join([\'-\' * (width * 3)] * 3)
    for r in rows:
        print(\'\'.join(dict_sudoku[r + c].center(width) + (\'|\' if c in \'36\' else \'\') for c in cols))
        if r in \'CF\': print(line)
    print()

cross函数：输出A、B交叉组合而成的字符串
arr_to_dict函数：将数组形式的数独转化为字典形式的数独
str_to_arr函数：将字符串形式的数独转化为数组形式的数独
show_str_sudoku函数：解析字符串形式的数独并显示
show_dict_sudoku函数：解析字典形式的数独并显示

3.全局变量（宏变量）

用Python按如下方式来实现单元、对等方块、方块的概念：

cols = \'123456789\'
rows = \'ABCDEFGHI\'
# squares表示 9*9个元素编号:[\'A1\', \'A2\', \'A3\', ... , \'I8\', \'I9\']
squares = cross(rows, cols)
# unitlist表示 3*9个单元列表:
unitlist = ([cross(rows, c) for c in cols] + [cross(r, cols) for r in rows] + [cross(rs, cs) for rs in (\'ABC\',\'DEF\',\'GHI\') for cs in (\'123\',\'456\',\'789\')])
# units表示 某个元素编号:与之相关的3个单元列表
units = dict((s, [u for u in unitlist if s in u]) for s in squares)
# peers表示 某个元素编号:与之相关的20个元素编号
peers = dict((s, set(sum(units[s], []))-set([s])) for s in squares)

squares代表81个元素编号
unitlist代表27个不能出现重复数字的单元
units表示某个元素编号以及与之对应的3个单元列表
peers表示某个元素编号以及与之相关的20个元素编号

4.数独预处理（约束传播）

初始数独的样子：

以下是简单的预处理函数：

# 一.数独预处理
def parse_sudoku(str_sudoku):
    # values代表各位置上可能的取值:{\'A1\': \'123456789\', \'A2\': \'123456789\', ... , \'I8\': \'123456789\', \'I9\': \'123456789\'}
    values = dict((s, cols) for s in squares)
    # arr_sudoku为数组形式, dict_sudoku为字典形式, 均为81位
    arr_sudoku = str_to_arr(str_sudoku)
    dict_sudoku = arr_to_dict(squares, arr_sudoku)# {\'A1\': \'4\', \'A2\': \'.\', ... , \'I8\': \'.\', \'I9\': \'.\'}

    for key,value in dict_sudoku.items():
        if value in cols and not assign(values, key, value):
            return False

    return values

def assign(values, key, value):
    # 从values[key]中删除除了value以外的所有值，因为value是唯一的值
    # 如果在过程中发现矛盾，则返回False
    other_values = values[key].replace(value, \'\')
    if all(eliminate(values, key, num) for num in other_values):
        return values
    else:
        return False

def eliminate(values, key, num):
    # 从values[key]中删除值num，因为num是不可能的
    if num not in values[key]:
        return values
    values[key] = values[key].replace(num, \'\')

    return values

共三个函数。values[key]代表在key这个位置上的可能取值。
parse_sudoku函数：预处理的入口函数
assign函数：从values[key]中删除除了value以外的所有值
eliminate函数：从values[key]中删除值num
处理完后的数独为：

以上只是简单的进行的数独的预处理。
但是其实根据数独的规则，我们可以得到以下两条原则：
(1).如果一个方块只有一个可能值，把这个值从方块的对等方块（的可能值）中排除;
(2).如果一个单元只有一个可能位置来放某个值，就把值放那。
于是我们根据这个策略可以改写eliminate函数：

def eliminate(values, key, num):
    # 从values[key]中删除值num，因为num是不可能的
    if num not in values[key]:
        return values
    values[key] = values[key].replace(num, \'\')

    # 这里采用了约束传播
    # 1.如果一个方块只有一个可能值，把这个值从方块的对等方块（的可能值）中排除。
    if len(values[key]) == 0:
        return False
    elif len(values[key]) == 1:
        only_value = values[key]
        # 从与之相关的20个元素中删除only_value
        if not all(eliminate(values, peer, only_value) for peer in peers[key]):
            return False

    # 2.如果一个单元只有一个可能位置来放某个值，就把值放那。
    for unit in units[key]:
        dplaces = [s for s in unit if num in values[s]]
        if len(dplaces) == 0:
            return False
        elif len(dplaces) == 1:
            only_key = dplaces[0]
            if not assign(values, only_key, num):
                return False

    return values

于是数独的预处理结果变为了：

这样是不是就把问题规模一下子简化了很多。

5.解数独（深度优先搜索+最小代价优先）

因为没有规定数独只有唯一解，所以以下程序实际上求解了数独的所有解。

# 二.解数独
def solve_sudoku(str_sudoku):
    return search_sudoku(parse_sudoku(str_sudoku))

def search_sudoku(values):
    if values is False:
        return False
    if all(len(values[s]) == 1 for s in squares):
        return values

    # 选择可能值数目最少的方块, 进行深度优先搜索
    n, key = min((len(values[key]), key) for key in squares if len(values[key]) > 1)
    return some_result(search_sudoku(assign(values.copy(), key, num)) for num in values[key])

def some_result(values):
    for result in values:
        if result:
            return result
    return False

solve_sudoku函数：是真正的解数独的入口，将数独预处理完毕的结果抛给search_sudoku函数求解
search_sudoku函数：是一个递归函数，采用的代价函数是选择可能值数目最少的方块，然后进行深度优先搜索遍历。
some_result函数：是在深度优先搜索的结果中找出满足条件的数独返回。如果想要所有解，那么可以改成返回一个解的列表。
如果想要程序更快，那么就可以只找一个解。可以在深度优先搜索的循环代码中，返回找到的满足条件的解即可。

6.主函数

if __name__ == \'__main__\':
    # str_sudoku为字符串形式, 为81位
    str_sudoku = [\'4.....8.5.3..........7......2.....6.....8.4......1.......6.3.7.5..2.....1.4......\']
    # str_sudoku = [\'4.....8.5.3..........7......2.....6.....8.4......1.......6.3.7.5..2.....1.4......\',
    #               \'003020600900305001001806400008102900700000008006708200002609500800203009005010300\',
    #               \'.....6....59.....82....8....45........3........6..3.54...325..6..................\']

    for sudoku in str_sudoku:
        start = time.clock()
        solve_result = solve_sudoku(sudoku)
        end = time.clock()
        print(\'初始数独为：\')
        show_str_sudoku(sudoku)
        print(\'解为：\')
        show_dict_sudoku(solve_result)
        print("求解数独运行时间为: %f s" % (end - start))

解出来数独的结果为：

7.总代码

\'\'\'
    数独是一个非常有趣味性的智力游戏
    参与者需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，
    并满足每一行、每一列、每一个宫内的数字均含1-9，不重复。
\'\'\'
__author__ = \'PyLearn\'
import time

def cross(A, B):
    # 例如：A = \'ABC\', B = \'123\'
    # 则返回[\'A1\', \'A2\', \'A3\', \'B1\', \'B2\', \'B3\', \'C1\', \'C2\', \'C3\']
    return [a+b for a in A for b in B]

def arr_to_dict(A, B):
    # 例如：A = [\'A\', \'B\', \'C\'], B = [\'1\', \'2\', \'3\']
    # 则返回{\'A\': \'1\', \'B\': \'2\', \'C\': \'3\'}
    return dict(zip(A, B))

def str_to_arr(str_sudoku):
    # 传入：str_sudoku = \'4.....8.5.3..........7......2.....6.....8.4......1.......6.3.7.5..2.....1.4......\'
    # 返回[\'4\', \'.\', \'.\', \'.\', \'.\', \'.\', \'8\', ... , \'.\', \'.\']
    return [c for c in str_sudoku if c in cols or c in \'0.\']

def show_str_sudoku(str_sudoku):
    # 解析字符串形式的数独并展示
    for i, value in enumerate(str_sudoku):
        if i%3 == 0 and i%9 != 0:
            print(\'|\', end=\' \')
        print(value, end=\' \')
        if (i+1)%9 == 0:
            print()
        if i == 26 or i == 53:
            print(\'------+-------+------\')

def show_dict_sudoku(dict_sudoku):
    # 解析字典形式的数独并展示
    width = 1 + max(len(dict_sudoku[s]) for s in squares)
    line = \'+\'.join([\'-\' * (width * 3)] * 3)
    for r in rows:
        print(\'\'.join(dict_sudoku[r + c].center(width) + (\'|\' if c in \'36\' else \'\') for c in cols))
        if r in \'CF\': print(line)
    print()

cols = \'123456789\'
rows = \'ABCDEFGHI\'
# squares表示 9*9个元素编号:[\'A1\', \'A2\', \'A3\', ... , \'I8\', \'I9\']
squares = cross(rows, cols)
# unitlist表示 3*9个单元列表:
unitlist = ([cross(rows, c) for c in cols] + [cross(r, cols) for r in rows] + [cross(rs, cs) for rs in (\'ABC\',\'DEF\',\'GHI\') for cs in (\'123\',\'456\',\'789\')])
# units表示 某个元素编号:与之相关的3个单元列表
units = dict((s, [u for u in unitlist if s in u]) for s in squares)
# peers表示 某个元素编号:与之相关的20个元素编号
peers = dict((s, set(sum(units[s], []))-set([s])) for s in squares)

# 一.数独预处理
def parse_sudoku(str_sudoku):
    # values代表各位置上可能的取值:{\'A1\': \'123456789\', \'A2\': \'123456789\', ... , \'I8\': \'123456789\', \'I9\': \'123456789\'}
    values = dict((s, cols) for s in squares)
    # arr_sudoku为数组形式, dict_sudoku为字典形式, 均为81位
    arr_sudoku = str_to_arr(str_sudoku)
    dict_sudoku = arr_to_dict(squares, arr_sudoku)# {\'A1\': \'4\', \'A2\': \'.\', ... , \'I8\': \'.\', \'I9\': \'.\'}

    for key,value in dict_sudoku.items():
        if value in cols and not assign(values, key, value):
            return False

    return values

def assign(values, key, value):
    # 从values[key]中删除除了value以外的所有值，因为value是唯一的值
    # 如果在过程中发现矛盾，则返回False
    other_values = values[key].replace(value, \'\')
    if all(eliminate(values, key, num) for num in other_values):
        return values
    else:
        return False

def eliminate(values, key, num):
    # 从values[key]中删除值num，因为num是不可能的
    if num not in values[key]:
        return values
    values[key] = values[key].replace(num, \'\')

    # 这里采用了约束传播
    # 1.如果一个方块只有一个可能值，把这个值从方块的对等方块（的可能值）中排除。
    if len(values[key]) == 0:
        return False
    elif len(values[key]) == 1:
        only_value = values[key]
        # 从与之相关的20个元素中删除only_value
        if not all(eliminate(values, peer, only_value) for peer in peers[key]):
            return False

    # 2.如果一个单元只有一个可能位置来放某个值，就把值放那。
    for unit in units[key]:
        dplaces = [s for s in unit if num in values[s]]
        if len(dplaces) == 0:
            return False
        elif len(dplaces) == 1:
            only_key = dplaces[0]
            if not assign(values, only_key, num):
                return False

    return values

# 二.解数独
def solve_sudoku(str_sudoku):
    return search_sudoku(parse_sudoku(str_sudoku))

def search_sudoku(values):
    if values is False:
        return False
    if all(len(values[s]) == 1 for s in squares):
        return values

    # 选择可能值数目最少的方块, 进行深度优先搜索
    n, key = min((len(values[key]), key) for key in squares if len(values[key]) > 1)
    return some_result(search_sudoku(assign(values.copy(), key, num)) for num in values[key])

def some_result(values):
    for result in values:
        if result:
            return result
    return False

if __name__ == \'__main__\':
    # str_sudoku为字符串形式, 为81位
    str_sudoku = [\'4.....8.5.3..........7......2.....6.....8.4......1.......6.3.7.5..2.....1.4......\']
    # str_sudoku = [\'4.....8.5.3..........7......2.....6.....8.4......1.......6.3.7.5..2.....1.4......\',
    #               \'003020600900305001001806400008102900700000008006708200002609500800203009005010300\',
    #               \'.....6....59.....82....8....45........3........6..3.54...325..6..................\']

    for sudoku in str_sudoku:
        start = time.clock()
        solve_result = solve_sudoku(sudoku)
        end = time.clock()
        print(\'初始数独为：\')
        show_str_sudoku(sudoku)
        print(\'解为：\')
        show_dict_sudoku(solve_result)
        print("求解数独运行时间为: %f s" % (end - start))