用递归方法解决汉诺塔问题（Recursion Hanoi Tower Python）

Posted 2020-10-15 HuZihu

汉诺塔问题源于印度的一个古老传说：梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。梵天命令婆罗门把圆盘按大小顺序重新摆放在另一根柱子上，并且规定小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。当所有的黄金圆盘都重新摆放在另一根柱子上时，世界就将在霹雳声中毁灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。

 

假设A是起始柱，B是中间柱，C是目标柱。

 

从最简单的例子开始看：

•  如果A柱上只剩一个圆盘，那么将圆盘从A柱移到C柱即可。 （A --> C）
•  如果A柱上剩两个圆盘，那么先将小圆盘从A柱移到B柱，再将大圆盘从A柱移到C柱，最后将B柱上的小圆盘移到C柱。（A --> B, A --> C, B --> C）
•  如果A柱上剩三个圆盘，那么先将最小的圆盘从A柱移到C柱，再将中间大小的圆盘从A柱移到B柱，然后将C柱上的最小的圆盘移到B柱，然后将A柱上的最大的圆盘移到C柱，然后将B柱上的最小的圆盘移到A柱，继续将B柱上的中间大小的圆盘移到C柱，最后将A柱上的最小的圆盘移到C柱。 （A -->C, A -->B, C --> B, A --> C, B --> A, B --> C, A --> C） --- 前三步（A -->C, A -->B, C --> B）可以看成是A --> B的过程，中间是A --> C的过程，最后三步（B --> A, B --> C, A --> C）可以看成是B --> C的过程

 

综上所述，如果需要移动n个圆盘，那么整个过程可以抽象成以下三个步骤：

1. 将除底盘以外的圆盘（n-1个圆盘）从A柱移动到B柱

2. 将底盘从A柱移动到C柱

3. 将B柱上的圆盘（n-1个圆盘）移动到C柱

 

从最复杂的例子开始看：

• 如果A柱上有64个圆盘，最简单的做法是把A柱上的64个圆盘想象成一共是2个圆盘（底盘是一个圆盘，底盘上面的63个圆盘是一个圆盘），这样的话，只需先将A柱上的63个圆盘移动到B柱，再将底盘从A柱移到C柱，最后将B柱上的63个圆盘移到C柱。
• 如果A柱上有63个圆盘，则把A柱上的63个圆盘想象成一共是2个圆盘（底盘是一个圆盘，底盘上面的62个圆盘是一个圆盘），这样的话，只需先将A柱上的62个圆盘移动到B柱，再将底盘从A柱移到C柱，最后将B柱上的62个圆盘移到C柱。
• 以此类推，直到A柱上只剩一个圆盘，然后将该圆盘从A柱移到C柱即可。

 

综上可以看出，通过不断重复嵌套，这个问题可以用递归方法解决。

 

代码如下：

def hanoi(n,a,b,c):   # n表示需要移动几个圆盘，a代表起始柱，b代表中间柱，c代表目标柱
    if n==1:              # 如果只剩1个圆盘，那么将圆盘从a柱移动c柱即可
        print(a,"->",c)
    else:             # 当n > 1时，用抽象出的3步来移动
        hanoi(n-1,a,c,b)        # 将n-1个圆盘从a移动到b
        print(a,"->",c)        # 将底盘从a移动到c
        hanoi(n-1,b,a,c)        # 将b上的n-1个圆盘移动到c

 

试一下移动3个圆盘的步骤是否和前文一致：

hanoi(3,"A","B","C")

 

运行结果如下：

A -> C
A -> B
C -> B
A -> C
B -> A
B -> C
A -> C

 

可以看出，移动3个圆盘需要7步。根据推算，移动n个圆盘需要2ⁿ-1步。假设每次移动一个圆盘都是1秒钟的时间，婆罗门不停地在移动圆盘，那么总共需要（2⁶⁴-1）秒的时间，世界就会毁灭。按一年365天计，需要584,942,417,355.072年世界才会毁灭。