数论与组合数学 4平方剩余二次互反律

Posted 2023-04-03 My Blog

平方剩余、二次互反律

一、平方剩余

1. 定义：设 p 为奇素数且 \\(\\mathsfa \\neq 0\\ mod\\ p\\) ，如果 a 在模 p 下是另一个数的平方，即 \\(\\mathsfa \\equiv b^2\\ mod\\ p\\) ，则称 a 为模 p 下的平方剩余，否则称 a 为平方非剩余。而二次同余式 \\(\\mathsfx^2\\equiv a\\ mod\\ p\\) 可能有 0—2 个解

• 例子：

  \\(\\mathsfp=5\\) 时，因为

  \\(\\mathsf1^2\\equiv 1\\ mod\\ 5 \\qquad 2^2\\equiv 4\\ mod\\ 5 \\qquad 3^2\\equiv 4\\ mod\\ 5 \\qquad 4^2\\equiv 1\\ mod\\ 5\\)

  则 1，4 是模 5 下的平方剩余，而 2，3 是模 5 下的平方非剩余

  \\(\\mathsfp=7\\) 时，因为

  \\(\\mathsf1^2\\equiv 1\\ mod\\ 7 \\qquad 2^2\\equiv 4\\ mod\\ 7 \\qquad 3^2\\equiv 2\\ mod\\ 7 \\qquad 4^2\\equiv 2\\ mod\\ 7 \\qquad 5^2\\equiv 4\\ mod\\ 7 \\qquad 6^2\\equiv 1\\ mod\\ 7\\)

  则 1，2，4 为模 7 下的平方剩余，而 3，5，6 是模 7 下的平方非剩余

1. 引理：令 \\(\\mathsfa\\neq0\\ mod\\ p\\) ，如果 \\(\\mathsfa^\\fracp-12\\equiv1\\ mod\\ p\\) ，则 a 是模 p 下的平方剩余

• 例子：

  15 是模 17 下的平方剩余，因为 \\(\\mathsf15^\\frac17-12\\equiv 1\\ mod\\ 17\\)

  12 是模 17 下的平方非剩余，因为 \\(\\mathsf12^\\frac17-12\\equiv -1\\ mod\\ 17\\)

• 证明：

  p 是奇数，所以根据欧拉定理：\\(\\mathsfa^p-1\\equiv 1\\ mod\\ p \\qquad (a^\\fracp-12)^2\\equiv 1\\ mod\\ p \\qquad a^\\fracp-12\\equiv \\pm1\\ mod\\ p\\)

  设 g 为模 p 下的原根，则 \\(\\mathsf\\1,\\ g,\\ g^2,\\ \\cdots,\\ g^p-2\\=1,\\ 2,\\ \\cdots,\\ p-1\\ mod\\ p\\)

  对应某些 k ，设 \\(\\mathsfa \\equiv g^k\\ mod\\ p\\) ，所以 \\(\\mathsfa \\equiv g^k+(p-1)m\\ mod\\ p\\)

  当 k 是偶数时，a 是模 p 下的平方剩余

  如果 \\(\\mathsfk=2l\\) ，那么 \\(\\mathsfa \\equiv g^2l \\equiv (g^l)^2\\)

  相反，如果\\(\\mathsfa \\equiv b^2\\ mod\\ p\\) 并且假设 \\(\\mathsfb=g^l\\ mod\\ p\\) ，那么 \\(\\mathsfa \\equiv g^2l\\ mod\\ p\\) ，所以 k 是偶数。

1. 注：在模 p 的剩余系统当中，有一半的数是平方剩余，另一半是平方非剩余。

二、Legendre 符号

1. 定义：\\(\\mathsf(\\fracap)= \\begincases1 \\qquad a\\ 是\\ mod\\ p\\ 的平方剩余 \\\\ -1 \\qquad a\\ 是\\ mod\\ p\\ 的平方非剩余 \\\\ 0 \\qquad a\\ 为\\ p\\ 等整数倍 \\endcases \\qquad\\)，也可写作 \\(\\mathsf(a \\mid p)\\) 。满足 \\(\\mathsf(\\fracap)=a^\\fracp-12\\ mod\\ p\\) 。
2. 定理：\\(\\mathsf(a \\mid p)(b \\mid p)=(ab \\mid p)\\)

• 证明：

  \\(\\mathsfa^\\fracp-12b^\\fracp-12\\equiv (ab)^\\fracp-12\\ mod\\ p \\qquad (a^2 \\mid p)=(a \\mid p)^2=1\\)

• 例子：

  \\(\\mathsf(-9 \\mid 71)=(-1 \\times 3^2 \\mid 71)=(-1 \\mid 71)(3^2 \\mid 71)=(-1 \\mid 71)=(-1)^35\\ mod\\ 71=-1\\)

  \\(\\mathsf(-9 \\mid 53)=(-1 \\times 3^2 \\mid 53)=(-1 \\mid 53)(3^2 \\mid 53)=(-1 \\mid 53)=(-1)^26\\ mod\\ 53=1\\)

三、高斯引理

1. 高斯引理：设 p 为奇素数并且 \\(\\mathsfa \\neq 0\\ mod\\ p\\) ，对于任意整数 x ，令 \\(\\mathsfx_p\\) 为模 p 下关于 x 的同余，且具有最小的绝对值。将 x 除以 p ，余数为 b ，则 \\(\\mathsf0 \\leq b < p\\) 。如果 \\(\\mathsfb<\\fracp2\\) ，令 \\(\\mathsfx_p=b\\) ，如果 \\(\\mathsfb> \\fracp2\\) ，令 \\(\\mathsfx_p=b-p\\) ，则 \\(\\mathsf-p/2 < x_p < p/2\\) 。令 n 为 \\(\\mathsf(a)_p,\\ (2a)_p,\\ (3a)_p,\\ \\cdots,\\ ((\\fracp-12)a)_p\\) 中负数的个数，则 \\(\\mathsf(a \\mid p)=(-1)^n\\)

• 例子：

  \\(\\mathsfp=13 \\qquad a=5 \\qquad \\a,\\ 2a,\\ \\cdots,\\ (\\fracp-12)a\\=\\5,\\ 10,\\ 15,\\ 20,\\ 25,\\ 30 \\\\)

  \\(\\mathsf\\(a)_p,\\ (2a)_p,\\ \\cdots,\\ ((\\fracp-12)a)_p\\=\\5,\\ -3,\\ 2,\\ -6,\\ -1,\\ 4\\\\)

  其中有 3 个负数，所以 \\(\\mathsf(5 \\mid 13)=(-1)^3=-1\\)

  \\(\\mathsfp=13 \\qquad a=10 \\qquad \\a,\\ 2a,\\ \\cdots,\\ (\\fracp-12)a\\=\\10,\\ 20,\\ 30,\\ 40,\\ 50,\\ 60\\\\)

  \\(\\mathsf\\(a)_p,\\ (2a)_p,\\ \\cdots,\\ ((\\fracp-12)a)_p\\=\\-3,\\ -6,\\ 4,\\ 1,\\ -2,\\ -5\\\\)

  其中有 4 个负数，所以 \\(\\mathsf(10 \\mid 13)=(-1)^4=1\\)

• 证明：

  首先证明：如果 \\(\\mathsf1 \\leq k \\neq l \\leq (p-1)/2\\) ，那么 \\(\\mathsf(ka)_p \\neq \\pm (la)_p\\)

  假设 \\(\\mathsf(ka)_p= \\pm(la)_p\\) 不正确，那么有 \\(\\mathsfka \\equiv \\pm\\ la\\ mod\\ p \\Rightarrow (k \\pm l)a \\equiv 0\\ mod\\ p \\Rightarrow k \\pm l \\equiv 0\\ mod\\ p\\)

  这是不可能的，因为 \\(\\mathsf2 \\leq k+l \\leq p-1\\ ,\\ -p/2 < k-l < p/2\\ ,\\ k-l \\neq 0\\)

  所以在模 p 下数 \\(\\mathsf\\mid (ka)_p \\mid\\ \\qquad k=1,\\ 2,\\ \\cdots,\\ \\fracp-12\\) 全部是不同的 (它们有 \\(\\mathsf\\fracp-12\\) 个) 并且必须是整数 \\(\\mathsf\\1,\\ 2,\\ \\cdots,\\ \\fracp-12 \\\\) 且按照某种顺序排列。

  \\(\\mathsf1 \\cdot 2 \\cdots(\\fracp-12)\\equiv \\prod\\limits_k=1^\\fracp-12\\mid (ka)_p \\mid\\ mod\\ p\\) ，恰好是 n 个数字 \\(\\mathsf(ka)_p<0\\) 则 \\(\\mathsf\\equiv(-1)^n\\prod\\limits_k=1^\\fracp-12(ka)_p\\ mod\\ p\\)

  \\(\\mathsf\\equiv (-1)^n \\prod\\limits_k=1^\\fracp-12ka\\ mod\\ p \\equiv a^\\fracp-12(-1)^n(1\\cdot 2 \\cdots (\\fracp-12))\\ mod\\ p\\)

  \\(\\mathsf\\Rightarrow 1 \\equiv a^\\fracp-12(-1)^n\\ mod\\ p \\quad \\Rightarrow \\quad a^\\fracp-12\\equiv (-1)^n\\ mod\\ p \\quad \\Rightarrow \\quad (a \\mid p)\\equiv (-1)^n\\ mod\\ p\\)

1. 定理：如果 p 为奇素数且 \\(\\mathsfgcd(a,\\ p)=1\\) ，如果 a 是奇数，\\(\\mathsf(a \\mid p)=(-1)^t\\) 且 \\(\\mathsft=\\sum\\limits_j=1^\\fracp-12 \\lfloor \\fracjap \\rfloor\\) 且 \\(\\mathsf(a \\mid p)=(-1)^\\frac(p^2-1)8\\)

• 证明：

  使用高斯引理，主要关注 \\(\\mathsf(-1)^n\\) 或 \\(\\mathsfn\\ mod\\ 2\\) 的情况。

  对于 1 到 \\(\\mathsf\\fracp-12\\) 之间的每个数 k ，\\(\\mathsfka=p\\lfloor \\frackap \\rfloor +ka\\ mod\\ p\\)

  \\(\\mathsfka=p \\lfloor \\frackap \\rfloor +(ka)_p+ \\begincases0 \\qquad 如果 (ka)_p>0 \\\\p \\qquad 如果 (ka)_p<0 \\endcases\\)

  \\(\\mathsfka= \\lfloor \\frackap \\rfloor + \\mid (ka)_p \\mid + \\begincases0 \\qquad 如果 (ka)_p>0 \\\\1 \\qquad 如果 (ka)_p<0 \\endcases\\ mod\\ 2\\)

  \\(\\mathsf\\sum\\limits_k=1^\\fracp-12ka \\equiv \\sum\\limits_k=1^\\fracp-12 \\lfloor \\frackap \\rfloor+\\sum\\limits_k=1^\\fracp-12\\mid(ka)_p\\mid+n\\ (mod\\ 2)\\)

  \\(\\mathsf\\sum\\limits_k=1^\\fracp-12ka=a\\sum\\limits_k=1^\\fracp-12k=\\fraca2(\\fracp-12)(\\fracp-12+1)=\\fraca(p^2-1)8\\)

  由于 \\(\\mathsf\\\\mid a\\mid_p,\\ \\cdots,\\ \\mid \\fracp-12 a \\mid _p\\\\) 是 \\(\\mathsf\\1,\\ \\cdots,\\ \\fracp-12 \\\\)

  \\(\\mathsf\\sum\\limits_k=1^\\fracp-12\\mid (ka)_p \\mid = \\sum\\limits_k=1^\\fracp-12k=\\frac12(\\fracp-12)(\\fracp-12+1)=\\frac(p^2-1)8\\)

  所以，\\(\\mathsfn\\equiv \\fraca(p^2-1)8-\\fracp^2-18+\\sum\\limits_k=1^\\fracp-12 \\lfloor \\frackap \\rfloor\\ (mod\\ 2)\\)

  \\(\\mathsfn\\equiv \\frac(a-1)(p^2-1)8+\\sum\\limits_k=1^\\fracp-12\\lfloor \\frackap \\rfloor\\ mod\\ 2\\)

  \\(\\mathsfn\\equiv \\sum\\limits_k=1^\\fracp-12 \\lfloor \\frackap \\rfloor \\equiv t\\ mod\\ 2\\)

  由于 a 是奇数，所以 \\(\\mathsf(a\\mid p)=(-1)^t\\)

  如果 \\(\\mathsfa=2\\) ，\\(\\mathsfn\\equiv \\frac(p^2-1)8+\\sum\\limits_k=1^\\fracp-12 \\lfloor \\frac2kp \\rfloor\\ mod\\ 2 \\qquad k \\in \\1,\\ 2,\\ \\cdots,\\ \\fracp-12\\\\)

  所以 \\(\\mathsf\\lfloor \\frac2kp \\rfloor=0\\) ，则 \\(\\mathsfn \\equiv \\frac(p^2-1)8\\ mod\\ 2\\) ，也就是说：

  \\(\\mathsf(2 \\mid p)=(-1)^(p^2-1)/8=\\begincases1 \\qquad 如果\\ p=1,7\\ mod\\ 8 \\\\-1 \\qquad 如果\\ p=3,5\\ mod\\ 8 \\endcases\\)

  \\(\\mathsf(-1 \\mid p)=(-1)^\\fracp-12= \\begincases1 \\qquad 如果\\ p=1\\ mod\\ 4 \\\\-1 \\qquad 如果\\ p=3\\ mod\\ 4 \\endcases\\)

四、二次互反律

1. 定理 (二次互反律)：如果 p，q 是不同的奇素数，那么 \\(\\mathsf(\\fracpq)(\\fracqp)=(-1)^(\\fracp-12)(\\fracq-12)\\) ，或其他版本：\\(\\mathsf(\\fracpq)=\\begincases+(\\fracqp) \\qquad 如果\\ p\\equiv 1\\ mod\\ 4\\ 或者\\ q \\equiv 1\\ mod\\ 4 \\\\-(\\fracqp) \\qquad 如果\\ p\\equiv q \\equiv 3\\ mod\\ 4 \\endcases\\)

• 例子：

  \\(\\mathsf(\\frac3773) \\leftarrow (\\frac7337) \\leftarrow (\\frac-137)\\)

  \\(\\mathsf(7 \\mid 11)=-(11 \\mid 7)=-(4 \\mid 7)=-1\\)

  \\(\\mathsf(10 \\mid 13)=(2 \\mid 13)(5 \\mid 13)=(-1)(13 \\mid 5)=-(3 \\mid 5)=-(5 \\mid 3)=-(2 \\mid 3)=-(-1)=1\\)

  \\(\\mathsfp=11,\\ x=\\pm 1,\\ \\pm2,\\ \\pm3,\\ \\pm4,\\ \\pm5,\\ \\Rightarrow x^2=1,\\ 3,\\ 4,\\ 5,\\ 9\\)

  \\(\\mathsfp=13,\\ x=\\pm1,\\ \\pm2,\\ \\pm3,\\ \\pm4,\\ \\pm,5\\ \\pm6 \\Rightarrow x^2=1,\\ 3,\\ 4,\\ 9,\\ 10,\\ 12\\)

1. 雅克比符号(n 不一定只是奇素数)：对于任意整数 a 和任意正奇数 n ，雅克比符号被定义为对应于 n 的素因子的 Legendre 符号的乘积。即：\\(\\mathsf(\\fracan)=(\\fracap_1)^\\alpha_1(\\fracap_2)^\\alpha_2\\cdots(\\fracap_k)^\\alpha_k\\) ，其中 \\(\\mathsfn=p_1^\\alpha_1p_2^\\alpha_2\\cdots p_k^\\alpha_k\\)

• 注意：

  如果 \\(\\mathsf(\\fracan)=-1\\) 那么 a 是模 n 下的平方剩余。如果 a 是模 n 下的平方剩余并且 \\(\\mathsfgcd(a,\\ n)=1\\)，则 \\(\\mathsf(\\fracan)=1\\)

  但是，不同于 Legendre 符号：如果 \\(\\mathsf(\\fracan)=1\\) 那么 a 可能是也可能不是模 n 下的平方剩余。如：\\(\\mathsf(\\frac-177)=1\\) ，但是 -1 是平方非剩余

• 例子：

  \\(\\mathsf(\\frac10019907)=(\\frac79907)(\\frac119907)(\\frac139907)\\)

  \\(\\mathsf (\\frac79907)=-(\\frac990711)=-(\\frac27)=-1 \\qquad (\\frac119907)=-(\\frac990711)=-(\\frac711)=(\\frac117)=(\\frac47)=1 \\qquad (\\frac139907)=(\\frac990713)=(\\frac13)=1\\)

  \\(\\mathsf(\\frac10019907)=(\\frac99071001)=(\\frac8981001)=(\\frac21001)(\\frac4491001)=(\\frac4491001)=(\\frac1001449)=(\\frac103449)=(\\frac449103)=(\\frac37103)=(\\frac10337)=(\\frac2937)=(\\frac3729)=(\\frac829)=(\\frac229)^3=-1\\)

五、Tonelli-Shanks 算法

1. Tonelli-Shanks 算法用于求解形如：\\(\\mathsfx^2 \\equiv n\\ mod\\ p\\) 的二次同余方程。

   输入：p ，一个奇素数。n 是一个整数，其中 n 是模 p 下的平方剩余。意味着 Legendre 符号\\(\\mathsf(n/p)=1\\)

   输出：R ，一个整数满足\\(\\mathsfR^2 \\equiv n\\)

   (1) 从 p-1 开始，对 p-1 进行因式分解，分解为\\(\\mathsfp-1=Q2^S\\) ，其中 Q 为奇数。如果 \\(\\mathsfS=1\\ (p \\equiv 3\\ mod\\ 4)\\) ，则由 \\(\\mathsfR \\equiv \\pm n^\\fracp+14\\) 直接给出解。

   (2) 选择一个 Z 为模 p 下的平方非剩余，令\\(\\mathsfc \\equiv z^Q\\)

   (3) 令\\(\\mathsfR \\equiv n^\\fracQ+12，t \\equiv n^Q，M=S\\)

   (4) 循环：

   <1> 如果\\(\\mathsft \\equiv 1\\) ，返回 R

   <2> 否则，找一个最小的 i ，\\(\\mathsf0<i<M\\) ，使得 \\(\\mathsft^2^i \\equiv 1\\) (重复平方)

   <3> 令\\(\\mathsfb\\equiv c^2^(M-i-1)\\) 并且令 \\(\\mathsfR \\equiv Rb,\\ t \\equiv tb^2,\\ c \\equiv b^2\\) 且 \\(\\mathsfM=i\\) (mod p 条件下)

   如果 R 是一个解，那么第二个解就是\\(\\mathsfp-R\\)

• 证明：

  已知 \\(\\mathsfp-1=Q2^S \\qquad r \\equiv n^\\fracQ+12\\ mod\\ p \\qquad t \\equiv n^Q\\ mod\\ p\\)

  所以 \\(\\mathsfr^2\\equiv nt\\ mod\\ p\\) 对于每次迭代都为真

  如果 \\(\\mathsft \\equiv 1\\ mod\\ p\\) ，那么 \\(\\mathsfr^2 \\equiv n\\ mod\\ p\\) 并且该算法以 \\(\\mathsfR \\equiv \\pm r\\ mod\\ p\\) 结束

  如果 \\(\\mathsft \\neq 1\\ mod\\ p\\) ，那么认为 z 为模 p 下的平方非剩余

  令 \\(\\mathsfc \\equiv z^Q\\ mod\\ p\\) ，那么 \\(\\mathsfc^2^S \\equiv (z^Q)^2^S \\equiv z^2^SQ \\equiv z^p-1 \\equiv 1\\ mod\\ p\\) 并且 \\(\\mathsfc^2^S-1 \\equiv z^\\fracp-12 \\equiv -1\\ mod\\ p\\) 这表明 c 的阶数是 \\(\\mathsf2^S\\)

  同理，有 \\(\\mathsft^2^S \\equiv 1\\ mod\\ p\\) ，所以 t 的阶数整除 \\(\\mathsf2^S\\)

  假设 t 的阶数是 \\(\\mathsf2^S^\'\\) 。由于 n 是模 p 的平方，\\(\\mathsft \\equiv n^Q\\ mod\\ p\\) 也是一个平方，因此 \\(\\mathsfS^\' \\leq S-1\\)

  之后令 \\(\\mathsfb \\equiv c^2^S-S^\'-1\\ mod\\ p \\qquad r^\' \\equiv br\\ mod\\ p \\qquad c^\' \\equiv b^2\\ mod\\ p \\qquad t^\' \\equiv c^\'t\\ mod\\ p\\) 则和上述一致，\\(\\mathsf(r^\')^2 \\equiv nt^\'\\ mod\\ p\\) 成立

  然而 t 和 \\(\\mathsfc^\'\\) 的阶都是 \\(\\mathsf2^s^\'\\) 。这表明 \\(\\mathsft^\'\\) 的阶数为 \\(\\mathsf2^S^\'\'\\)满足 \\(\\mathsfS^\'\'<S\'\\)

  如果 \\(\\mathsfS^\'\'=0\\) 那么 \\(\\mathsft^\' \\equiv 1\\ mod\\ p\\) 并且该算法在 \\(\\mathsfR \\equiv \\pm r^\'\\ mod\\ p\\) 终止

  否则，用 \\(\\mathsfb^\',\\ r^\'\',\\ c^\'\',\\ t^\'\'\\) 相似的定义重新开始循环直到 \\(\\mathsfS^\' \\cdots \'\\) 等于 0

  因此，一系列的 S 是属于严格逐渐减少的算法，一定会终止

• 例子：

  求解二次同余方程 \\(\\mathsfx^2 \\equiv 10\\ mod\\ 13\\) ，明显 13 是奇素数。由于 \\(\\mathsf10^\\frac13-12=10^6\\equiv 1\\ mod\\ 13\\) ，10 是平方剩余

  (1) 已知 \\(\\mathsfp-1=12=3 \\cdot 2^2\\) ，令 \\(\\mathsfQ=3,\\ S=2\\)

  (2) 令 \\(\\mathsfZ=2\\) 为平方剩余，因为 \\(\\mathsf2^\\frac13-12=-1\\ mod\\ 13\\) ，令 \\(\\mathsfc=2^3 \\equiv 8\\ mod\\ 13\\)

  (3)\\(\\mathsfR=10^2 \\equiv -4\\ ,\\ t \\equiv 10^3 \\equiv-1\\ mod\\ 13 \\qquad M=2\\)

  (4) 开始循环：\\(\\mathsft \\neq 1\\ mod\\ 13\\) ，所以 \\(\\mathsf0<i<2\\) ，则 \\(\\mathsfi=1\\) 。

  令 \\(\\mathsfb \\equiv 8^2^2-1-1\\equiv 8\\ mod\\ 13 \\qquad c=b^2\\equiv 8^2 \\equiv -1\\ mod\\ 13\\)

  \\(\\mathsfR=Rb=-4 \\cdot 8 \\equiv 7\\ mod\\ 13 \\qquad t=tb^2 \\equiv -1 \\cdot -1 \\equiv 1\\ mod\\ 13 \\qquad M=i=1\\)

  返回开始，因为 \\(\\mathsft \\equiv 1\\ mod\\ 13\\) 。返回 \\(\\mathsfR \\equiv 7\\ mod\\ 13\\)

  验证：\\(\\mathsf7^2=49 \\equiv 10\\ mod\\ 13\\) 且 \\(\\mathsf(-7)^2 \\equiv 6^2 \\equiv 10\\ mod\\ 13\\)

1. 引理：如果 a，b 都与 p 互素，且 a，b 的阶都为 \\(\\mathsf2^j\\ mod\\ p\\ (j>0)\\) ，则对于某些 \\(\\mathsfk<j\\) 时 ab 的阶表示为 \\(\\mathsf2^k\\)

• 证明：

  a 的阶数为 \\(\\mathsf2^j\\ mod\\ p\\) ，则 \\(\\mathsfa^2^j-1 \\equiv -1\\ mod\\ p\\) 。同理 \\(\\mathsfb^2^j-1 \\equiv -1\\ mod\\ p\\)

  所以，\\(\\mathsf(ab)^2^j-1 \\equiv 1\\ mod\\ p\\) ，也就是说 ab 的阶数整除 \\(\\mathsf2^j-1\\) ，因此，\\(\\mathsfk<j\\)

数学分支（转）

 

1数论	2代数学	3几何学	4拓扑学
5函数论	6泛函分析	7常微分方程	8偏微分方程
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b—解析数论

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g—概率数论

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2—代数学

a—线性代数

b—群论

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e—李代数

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n—微分代数

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3—几何学

a—几何学基础

b—欧氏几何学

c—非欧几何学包括黎曼几何学等

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