[NOI1999] 生日蛋糕

Posted 2023-03-29 MT默哥的博客

看题
洛谷传送门(食用更佳)

点击查看复杂的题目

题目背景

数据加强版 link

示例图：

样例 #1

样例输入 #1

100
2

样例输出 #1

68

ok,开始愉快的AC之旅

第一步：预处理

定义 a,b数组，存储第i层最多能用的表面积和体积，便于优化

---

第二步：深度优先搜索

定义search函数，负责搜索

递归结束条件是：

1：蛋糕已完成，即层数p==m

2：体积超过了预定的值，或者表面积超过了之前存储的最小值ans

---

第三步：寻找优化方案！

这步尤为重要，没有合适的优化方案会导致超时

1：对于体积
在第一步已经完成了对最大体积的预处理，所以只需要用当前体积加上b[i-1],判断是否大于了规定体积n即可

即： if(v+b[p-1]>n) return ;//体积超出

2：对于表面积
如果 当前的表面积+余下的侧面积>当前最优值ans （这个应该很简单证明）

但是，如何实现呢？？？

于是就有了接下来的公式推理

设已经做了i层蛋糕,则还需做m-i层, 

Si’：为第i层蛋糕的侧面积,       
FSi：余下的侧面积

根据定义：
     V=π*R*R*H（在这里统一删掉π）
     则有：
      2Vi= 2R[i+1] * R[i+i] * H[i+1] + ...+ 2Rm * Rm * Hm
                      （每一层的体积之和）
         = R[i+1] *  S[i+1]’ + ...+ Rm * Sm’
         ≤ R[i+1] * (S[i+1]’+ ...+ Sm’)    放缩法
         = R[i+1]*FSi (剩余侧面积)
 所以:
               FSi ≥ 2Vi / Ri+1 

因此，剪枝条件变为了

2*(n-v)/r+s>=ans

于是前面预处理的a数组就可以去掉了

第三步完成

综合这三步编写代码，愉快的AC

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[21],b[21],m,n,ans;//a存储表面积,b存储体积 
void search(int v,int s,int p,int r,int h)//v为已用体积，s为已有表面积，p为剩余层数，r为半径，h为高 

    int i,j,hh;
    if (p==0)//蛋糕已完成
        
        if (v==n&&s<ans)//判断是否符合要求并得到更优解
                ans=s;//更新最优解
        return ;
        
        if(v+b[p-1]>n) return ;//体积超出 
        //if(s+a[p-1]>ans) return ;//表面积超出 
        if(2*(n-v)/r+s>=ans)  return; //重点：当前的表面积+余下的侧面积>当前最优值
        //剩余表面积FS>=2*V剩/r   
        //若FS+s>=ans 则不符合 
         for(i=r-1;i>=p;i--)//枚举上一层的半径
         
            if(p==m) s=i*i;
            hh=min((n-v-b[p-1])/(i*i),h-1);
            for(j=hh;j>=p;j--)//枚举上一层的高
            search(v+i*i*j,s+2*i*j,p-1,i,j);
         

int main()

      cin>>n>>m;
      ans=2147483647;
      a[0]=b[0]=0;
      for(int i=1;i<21;i++)
      
       //a[i]=a[i-1]+2*i*i;//第i层使用的最大表面积 
        b[i]=b[i-1]+i*i*i;//第i层使用的最大体积 
      
      search(0,0,m,n+1,n+1);
      if(ans==2147483647) cout<<\'0\';
      else cout<<ans;
      return 0;

本文来自小默的博客，转载请注明原文链接：https://www.cnblogs.com/momotrace/p/p1731.html